mateforum.ro

Se da inecuatia \( |ax^2+bx+c |\le 1 \) , verificata de orice \( x \in [-1,1] \) . Sa se arate ca \( |a|+|b|+|c|\le4 \) .

Gata, am corectat enuntul. Lipsea modulul din primul membru. Acum e bine.

Se poate obtine o inegalitate un pic mai tare:
\(
|a|+|b|+|c|\le3 \)
Nu-i nevoie de functia de gradul 2.

Se poate presupune ca \( a\ge0 \), intrucat cazul \( a<0 \) se reduce la acesta. Se dau lui x valorile 0, 1 si -1 in inegalitatea din ipoteza, apoi se jongleaza cu inegalitatile obtinute.

Problema se mai poate rezolva :

Notam \( f(x)=ax^2+bx+c \) , rezulta \( |f(x)|\le1 \)

Daca x=0 , atunci f(0)=c , atunci rezulta \( |c|\le1 \) (1)

Daca x=1 , atunci f(1)=a+b+c si \( f(1)\le1 \)

Daca x=-1 , atunci f(-1)=a-b+c si \( f(-1)\le1 \)

Rezulta f(1)+f(-1)=2a+2c , rezulta 2a=f(1)+f(-1)-2c , deci 2a=f(1)+f(-1)-2f(0)

Rezulta \( |2a|=|f(1)+f(-1)-2f(0)|\le4 \) , adica \( |a|\le2 \) (2)

2b=f(1)-f(-1) , rezulta \( |2b|=|f(1)-f(-1)|\le|f(1)+f(-1)|\le2 \)

Atunci \( |b|\le1 \) (3)

Adunam (1) , (2) , (3) si rezulta \( |a|+|b|+|c|\le4 \)