mateforum.ro

1) Demonstrati proprietatea:

Fie \( X \), \( Y \), \( Z \) si \( T \) patru puncte arbitrare in spatiu si \( M \), \( N \) mijloacele segmentelor \( [XY] \), respectiv \( [ZT] \). Aratati ca

\( \ \ \ \ \ \vec{MN}=\frac{\vec{XT}+\vec{YZ}}{2} \)

2) Folosind proprietatea de mai sus, aratati ca daca \( ABCD \) si \( EFGH \) sunt doua paralelograme in spatiu, atunci unind mijloacele segmentelor \( [AE],\ [BF],\ [CG] \) si \( [DH] \) se obtine un paralelogram.

1)\( \vec{MN}=\vec{MX}+\vec{XT}+\vec{TN} \)
\( \vec{MN}=\vec{MY}+\vec{YZ}+\vec{ZN} \)
\( \Rightarrow 2\vec{MN}=\vec{XT}+\vec{YZ} \)
2)Notand \( M,N,P,Q \) mijloacele segmentelor in ordine \( \Rightarrow 2\vec{MN}=\vec{AB}+\vec{EF} \) si \( 2\vec{PQ}=\vec{CD}+\vec{GH} \Rightarrow \vec{MN}=-\vec{PQ} \Rightarrow MN \parallel PQ \) si \( MN =PQ \) .