Consecinte ale formulelor lui Frenet
Posted: Sun Aug 17, 2008 5:05 pm
Buna ziua! Felicitari pentru forumul minunat pe care am avut si eu norocul sa ma înscriu!
Nu stiu cât de cinstit este, dar as începe prin a va prezenta un rezultat la care am ajuns anul trecut. Consider ca acest rezultat ar putea avea consecinte profunde în întreaga Fizica (si chiar în teoria curbelor). De aceea sunt convins ca dumneavoastra veti gasi de cuviinta sa-mi spuneti câteva cuvinte despre corectitudinea si utilitatea unui asemenea rezultat.
Va multumesc!
Studiind formulele lui Frenet am ajuns la concluzia ca acestea sunt recursive. Mai precis, folosind forma trigonometrica a formulelor lui Frenet (forma despre care puteti gasi amanunte plictisitoare pe blogul meu), am demonstrat urmatoarea
Teorema. Daca exista un triedru drept de ordinul n \( \large{(\vec{T}_{n},\;\vec{N}_{n},\;\vec{B}_{n})} \) care satisface formulele lui Frenet de ordinul n scrise sub forma trigonometrica
\( \large{\left\{\dot{{\vec{T}}}_{n}=\omega_{n}\sin\theta_{n}\vec{N}_{n}\\\dot{{\vec{N}}}_{n}=\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\\dot{{\vec{B}}}_{n}=-\omega_{n}\cos\theta_{n}\vec{N}_{n}\right.} \),
atunci exista înca un triedru drept de ordinul n+1
\( \large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right.} \)
care satisface, la rândul sau, formulele lui Frenet de ordinul n+1 scrise sub forma trigonometrica
\( \large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right.} \),
unde \( \large{\theta_{n+1}=\arctan\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n}}} \) si \( \large{\omega_{n+1}=\sqrt{{\dot{\theta}_{n}}^{2}+\omega_{n}^{2}}} \).
Demonstratie: Din relatiile
\( \large{\theta_{n+1}=\arctan\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n}}} \) si \( \large{\omega_{n+1}=\sqrt{{\dot{\theta}_{n}}^{2}+\omega_{n}^{2}}} \)
avem ca
\( \large{\sin\theta_{n+1}=\frac{\tan\theta_{n+1}}{\sqrt{1+\tan ^{2}\theta_{n+1}}}=\frac{\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n}}}{\sqrt{1+\frac{{\dot{\theta}}^{2}}{\omega_{n}^{2}}}}=\frac{\dot{\theta}_{n}}{\sqrt{\omega_{n}^{2}+{\dot{\theta}_{n}}^{2}}}=\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n+1}}} \), deci \( \large{\dot{\theta}_{n}=\omega_{n+1}\sin\theta_{n+1}} \).
Mai avem \( \large{\cos\theta_{n+1}=\sqrt{1-\sin ^{2}\theta_{n+1}}=\sqrt{1-\frac{{\dot{\theta}_{n}}^{2}}{\omega_{n}^{2}+{\dot{\theta}_{n}}^{2}}}=\frac{\omega_{n}}{\omega_{n+1}}} \), de unde \( \large{\omega_{n}=\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}} \).
Derivam acum versorii triedrului drept de ordinul n+1
\( \large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}
\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right.} \)
si obtinem
\( \large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta\dot{\vec{T}}_{n}+\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}+\sin\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}-\sin\theta_{n}\dot{\vec{T}}_{n}-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}+\cos\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right.} \) .
Înlocuind \( \large{\dot{\vec{T}}_{n}=\omega_{n}\sin\theta_{n}\vec{N}_{n}} \) si \( \large{\dot{\vec{B}}_{n}=-\omega_{n}\cos\theta_{n}\vec{N}_{n}} \), obtinem
\( \large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}(\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n})-\omega_{n}\vec{N}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right.} \).
Dar stim ca, din definitia versorilor de ordin superior, avem
\( \large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right.} \),
deci
\( \large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}\vec{N}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\vec{T}_{n+1}+\omega_{n}\vec{B}_{n+1}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}\vec{N}_{n+1}\right.} \).
Cum \( \large{\dot{\theta}_{n}=\omega_{n+1}\sin\theta_{n+1}} \) si \( \large{\omega_{n}=\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}} \) , rezulta în final
\( \large{\left\{\\{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right.} \),
ceea ce trebuia demonstrat.
Descoperirea "live" a acestei teoreme de recurenta, precum si o multime de consecinte ale teoremei pot fi gasite pe forumul de astronomie în topicul "Formulele lui Frenet generale".
Cum vi se pare aceasta teorema? Nu întrevedeti si voi aici (ca si mine), de exemplu, o eventuala conexiune profunda între mecanica clasica si cea cuantica, respectiv, o noua posibilitate de abordare a teoriei curbelor în relatie cu fractalii?
Nu stiu cât de cinstit este, dar as începe prin a va prezenta un rezultat la care am ajuns anul trecut. Consider ca acest rezultat ar putea avea consecinte profunde în întreaga Fizica (si chiar în teoria curbelor). De aceea sunt convins ca dumneavoastra veti gasi de cuviinta sa-mi spuneti câteva cuvinte despre corectitudinea si utilitatea unui asemenea rezultat.
Va multumesc!
Studiind formulele lui Frenet am ajuns la concluzia ca acestea sunt recursive. Mai precis, folosind forma trigonometrica a formulelor lui Frenet (forma despre care puteti gasi amanunte plictisitoare pe blogul meu), am demonstrat urmatoarea
Teorema. Daca exista un triedru drept de ordinul n \( \large{(\vec{T}_{n},\;\vec{N}_{n},\;\vec{B}_{n})} \) care satisface formulele lui Frenet de ordinul n scrise sub forma trigonometrica
\( \large{\left\{\dot{{\vec{T}}}_{n}=\omega_{n}\sin\theta_{n}\vec{N}_{n}\\\dot{{\vec{N}}}_{n}=\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\\dot{{\vec{B}}}_{n}=-\omega_{n}\cos\theta_{n}\vec{N}_{n}\right.} \),
atunci exista înca un triedru drept de ordinul n+1
\( \large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right.} \)
care satisface, la rândul sau, formulele lui Frenet de ordinul n+1 scrise sub forma trigonometrica
\( \large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right.} \),
unde \( \large{\theta_{n+1}=\arctan\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n}}} \) si \( \large{\omega_{n+1}=\sqrt{{\dot{\theta}_{n}}^{2}+\omega_{n}^{2}}} \).
Demonstratie: Din relatiile
\( \large{\theta_{n+1}=\arctan\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n}}} \) si \( \large{\omega_{n+1}=\sqrt{{\dot{\theta}_{n}}^{2}+\omega_{n}^{2}}} \)
avem ca
\( \large{\sin\theta_{n+1}=\frac{\tan\theta_{n+1}}{\sqrt{1+\tan ^{2}\theta_{n+1}}}=\frac{\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n}}}{\sqrt{1+\frac{{\dot{\theta}}^{2}}{\omega_{n}^{2}}}}=\frac{\dot{\theta}_{n}}{\sqrt{\omega_{n}^{2}+{\dot{\theta}_{n}}^{2}}}=\frac{\dot{\theta}_{n}}{\omega_{n+1}}} \), deci \( \large{\dot{\theta}_{n}=\omega_{n+1}\sin\theta_{n+1}} \).
Mai avem \( \large{\cos\theta_{n+1}=\sqrt{1-\sin ^{2}\theta_{n+1}}=\sqrt{1-\frac{{\dot{\theta}_{n}}^{2}}{\omega_{n}^{2}+{\dot{\theta}_{n}}^{2}}}=\frac{\omega_{n}}{\omega_{n+1}}} \), de unde \( \large{\omega_{n}=\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}} \).
Derivam acum versorii triedrului drept de ordinul n+1
\( \large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}
\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right.} \)
si obtinem
\( \large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta\dot{\vec{T}}_{n}+\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}+\sin\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}-\sin\theta_{n}\dot{\vec{T}}_{n}-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}+\cos\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right.} \) .
Înlocuind \( \large{\dot{\vec{T}}_{n}=\omega_{n}\sin\theta_{n}\vec{N}_{n}} \) si \( \large{\dot{\vec{B}}_{n}=-\omega_{n}\cos\theta_{n}\vec{N}_{n}} \), obtinem
\( \large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}(\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n})-\omega_{n}\vec{N}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right.} \).
Dar stim ca, din definitia versorilor de ordin superior, avem
\( \large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right.} \),
deci
\( \large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}\vec{N}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\vec{T}_{n+1}+\omega_{n}\vec{B}_{n+1}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}\vec{N}_{n+1}\right.} \).
Cum \( \large{\dot{\theta}_{n}=\omega_{n+1}\sin\theta_{n+1}} \) si \( \large{\omega_{n}=\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}} \) , rezulta în final
\( \large{\left\{\\{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right.} \),
ceea ce trebuia demonstrat.
Descoperirea "live" a acestei teoreme de recurenta, precum si o multime de consecinte ale teoremei pot fi gasite pe forumul de astronomie în topicul "Formulele lui Frenet generale".
Cum vi se pare aceasta teorema? Nu întrevedeti si voi aici (ca si mine), de exemplu, o eventuala conexiune profunda între mecanica clasica si cea cuantica, respectiv, o noua posibilitate de abordare a teoriei curbelor în relatie cu fractalii?