mateforum.ro

Se dau doua elipse distincte, care au un focar in comun. Sa se demonstreze ca elipsele au cel mult 2 puncte in comun.

IMC 2008

Pe drum inspre casa, am gasit o solutie mult mai scurta decat cea data de mine in concurs, care avea vreo 4 pagini... O prezint mai jos.

Ideea problemei este sa demonstram ca trei puncte necoliniare \( A,B,C \) si un focar \( F \) determina cel mult o elipsa.

Consideram cercurile \( \mathcal{A}, \mathcal{B},\mathcal{C} \) de centre \( A,B,C \) si raze \( FA,FB,FC \). Fiind date aceste trei cercuri exista cel mult un cerc \( \mathcal{D} \) care le contine pe toate in interior si este tangent la toate 3. In cazul in care exista \( \mathcal{D} \) centrul sau este cel de-al doilea focar al elipsei si astfel elipsa este unic determinata. In cazul in care nu exista, nici elipsa nu exista.

De-acum e simplu. Daca cele doua elipse ar avea 3 puncte in comun si un focar comun, nu ar mai fi distincte, deci au cel mult 2 puncte in comun.

(Cred ca e mai scurta decat solutia oficiala... )