mateforum.ro

Varfurile unui poligon regulat cu 2004 laturi precum si centrul sau se coloreaza cu una din doua culori avute la dispozitie , astfel incat fiecare culoare sa fie folosita de cel putin 670 ori. Sa se arate ca exista cel putin un triunghi echilateral care are varfurile colorate cu aceeasi culoare.

Generalizare.

Sa presupunem ca cele doua culori folosite sunt rosu si negru.
Intrucat \( 2004=334 \cdot 6 \), rezulta ca putem imparti poligonul in \( 334 \) de hexagoane. Mai exact, formam \( 334 \) de multimi disjuncte a caror reuniune este multimea celor \( 2004 \) puncte.
Deoarece si varful este colorat, putem presupune ca varful este colorat cu rosu.
Revenind la hexagoane sa presupunem prin absurd ca un hexagon are cel mult doua varfuri rosii. Rezulta ca in poligon vor exista mai putin de \( 2 \cdot 334 +1=669<670 \) lucru care intra in contradictie cu faptul ca orice culoare trebuie folosita de cel putin \( 670 \) de ori. Intrucat presupunerea facuta este falsa, deducem ca exista un hexagon cu cel putin trei varfuri rosii. Avem acum doua cazuri:
\( 1. \) Daca doua varufuri consecutive ale hexagonului sunt rosii, rezulta ca triunghiul echilateral cautat este cel determinat de varf si de cele doua puncte rosii consecutive.
\( 2. \) Daca in hexagon nu exista doua varfuri consecutive colorate cu rosu rezulta ca triunghiul echilateral cautat este cel determinat de cele trei puncte rosii sau de cele trei puncte negre.

nu e prea corect! hexagoanele tale nu sunt regulate!