mateforum.ro

Daca \( a,b,c \) sunt lungimile laturilor unui triunghi, sa se demonstreze ca \( \sum_{ciclic} \frac{a}{-a+b+c} \geq 3 \).

Intr-adevar....inegalitatea este de cls a 7-a.

\( \sum_{cyc}{} {\frac {a}{-a+b+c}} \) \( = \) \( \sum_{cyc}{} {\frac {a^2}{-a^2+ab+ac} \) \( \geq \) \( \frac {{(\sum_{cyc}{} {a})}^2}{\sum_{cyc}{} {a^2} - 2\sum_{cyc}{} {ab}} \) \( \geq 3 \)\( \Leftrightarrow \) \( \sum_{cyc}{} {{(a-b)}^2} \)\( \geq 0 \) adevarat

Marius, cunosti o intarire a acestei inegalitati care sa o faca competitiva pentru clasa a IX - a ?!
Iti voi oferi eu una personala, dar trebuie sa o gasesc pe MLS.

O solutie la aceasta inegalitate poate fi urmatoarea:
Folosim binecunoscutele deconditionari in cazul unor inegalitati u lungimile laturilor unui triunghi: \( a=x+y, b=y+z, c=z+x \) cu \( x,y,z >0 \). Inegalitatea devine:
\( LHS= \sum_{cyc} \frac {x+y}{-x-y+y+z+z+x}=\sum_{cyc} \frac{x+y}{2z}= \sum_{cyc}(\frac{x}{2z}+ \frac{z}{2x}) \geq 3 \cdot 1=3 \).
Obs. Am folosit inegalitatea \( \frac{x}{2z}+\frac{z}{2x} \geq 2 \cdot \sqrt {\frac{xz}{4xz}}=1 \) si analoagele.

O intarire a acestei inegalitati ar putea fi :

\( \sum \frac{a}{-a+b+c}\geq 2+\frac{2R}{r}-\left(\frac{4R+r}{p}\right)^2\geq 3 \)

unde R-raza cercului circumscris, r-raza cercului inscris iar p-semiperimetru.

Aceasta inegalitate este echivalenta cu o inegalitate algebrica din shorlistul olimpiadei din 2006 daca mi-aduc bine aminte.