mateforum.ro

Fie \( n \) reale pozitive \( a_j \) cu suma \( 1 \). Aratati ca

\( \sum \frac{a_j}{1 + a_1 + \cdots + a_j} < \frac{1}{\sqrt{2}} \).

[ Radu Gologan - Teste tip OIM 2008 - Problema 2/Test 2 ]

Aplicam CBS.

\( \sum {\frac{a_j}{1+a_1+...+a_j}}=\sum {\frac{\sqrt{a_j}}{1+a_1+...+a_j}\sqrt{a_{j}}}\leq \sqrt{(\sum {\frac{a_j}{(1+a_1+...+a_j)^2}})(\sum {a_j})}< \)
\( <\sqrt{\sum {\frac{a_j}{(1+a_1+...+a_{j-1})(1+a_1+...+a_j)}}}=\sqrt{{\sum {(\frac{1}{1+a_1+...+a_{j-1}}-\frac{1}{1+a_1+...+a_j}})}}= \)
\( =\sqrt{1-\frac{1}{1+a_1+...+a_n}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \).

Corect! Remarcati si ca in cazul \( a_1 = \cdots = a_n = 1/n \) limita membrului stang este \( \log(2) \approx 0.69 < 0.71 \approx 1/\sqrt{2} \), deci este surprinzator de "sharp" pentru modul "brutal" in care se rezolva. Inca nu am idee care este cea mai buna constanta (probabil una din cele doua).
Vezi si aici.

Pentru cunoscatori, suma din membrul stang este suma Riemann pentru o anumita diviziune a lui \( [1,2] \) si functia \( \frac{1}{x} \). Suma este tot timpul mai mica, si poate fi facuta oricat de "aproape" de \( \int_1^2 \frac{1}{x}dx= \ln2 \). Deci \( \ln 2 \) este cea mai buna constanta pentru care inegalitatea este adevarata.