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Fie a,b numere naturale nenule.
a) Daca \( a^2+4b \) si \( b^2-4a \) sunt simultan patrate perfecte atunci \( b=a+1 \).
b) Daca \( a^2+b \) si \( b^2-8a \) sunt patrate perfecte atunci \( b=2a+1 \).
c) Nu exista a si b naturale nenule astfel incat \( a^2+2b \) si \( b^2-3a \) sa fie simultan patrate perfecte.

a) \( a^2+4b=p^2>a^2 \), dar a si p au ac paritate \( \Rightarrow a^2+4b\ge (a+2)^2\Rightarrow b\ge a+1 \) (1)
\( b^2-4a=k^2<b^2 \), dar b si k au ac paritate \( \Rightarrow b^2-4a\le (b-2)^2\Rightarrow b\le a+1 \) (2)
Din (1) si (2) rezulta ca \( b=a+1 \)
b) \( a^2+b=x^2>a^2\Rightarrow a^2+b\ge (a+1)^2\Rightarrow b\ge 2a+1 \) (3)
\( b^2-8a=y^2<b^2 \), dar b si y au ac paritate \( \Rightarrow b^2-8a\le (b-2)^2\Rightarrow b\le 2a+1 \) (4)
Din (3) si (4) rezulta ca \( b=2a+1 \)
c) Presupunem prin absurd ca exista a si b numere naturale astfel incat \( a^2+4b \) si \( b^2-3a \) sa fie simultan patrate perfecte
Deci, exista \( s,t\in N^* \) a.i. \( a^2+2b=s^2 \) si \( b^2-3a=t^2 \)
\( a^2+2b=s^2>a^2 \), dar a si s au ac paritate \( \Rightarrow a^2+2b\ge (a+2)^2\Rightarrow b\ge 2a+2\Rightarrow 2b\ge 4a+4 \) (5)
\( b^2-3a=t^2<b^2\Rightarrow b^2-3a\le (b-1)^2\Rightarrow 2b\le 3a+1 \) (6)
Din (5) si (6) rezulta ca \( 4a+4\le 3a+1,a\in N \) imposibil. Rezulta presupunerea este falsa.