Hmmm, desi nu as mai posta la clasele mai mici de clasa 11-a, am sa fac totusi cateva exceptii pentru anumite probleme care chiar merita. Nu stiu daca problema asta este una dintre ele, insa am s-o corelez cu o alta inegalitate care aceea chiar merita, anume:
\( (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)\geq \cos A\cos B\cos C \) care este echivalenta in cele din urma cu
\( a^2+b^2+c^2\leq 8R^2+4r^2 \) care provine din cunoscuta identitate
\( IH^2=8R^2+4r^2-(a^2+b^2+c^2) \). Pana ajungem acolo, sa postam mai intai cateva solutii.
Solutia 1.
Folosind inegalitatea Cauchy-Schwarz, vom avea
\( (a\cos A+b\cos B+c\cos C)\left(\frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}\right)\geq (a+b+c)^{2} \) unde va rezulta ca
\( \frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}\geq\frac{(a+b+c)^{2}}{a\cos A+b\cos B+c\cos C} \). Insa, folosind teorema cosinusului, i.e.
\( \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \) si analoagele, vom avea ca
\( a\cos A+b\cos B+c\cos C=(a+b+c)\cdot\frac{r}{R} \) si astfel inegalitatea noastra va fi echivalenta cu
\( \frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}\geq (a+b+c)\frac{R}{r} \), iar cu inegalitatea lui Euler,
\( R\geq 2r \), avem concluzia problemei noastre.
Solutia 2.
Fara a leza generalitatea problemei, presupunem ca
\( a\leq b\leq c \). Atunci este usor de vazut ca
\( \cos A\geq\cos B\geq\cos C \) de unde
\( \frac{1}{\cos A}\leq\frac{1}{\cos B}\leq\frac{1}{\cos A} \). Astfel, aplicand inegalitatea lui Cebasev, avem ca
\( \frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}\geq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\left(\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}\right) \). Acum, aplicand inegalitatea dintre media artimetica si media armonica, vom avea ca
\( \frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}\geq\frac{9}{\cos A+\cos B+\cos C}\geq 6 \) ultiam inegalitate rezultand din cunoscuta
\( \cos A+\cos B+\cos C\leq\frac{3}{2} \).
Solutia 3.
Aplicand teorema cosinusului, i.e.
\( \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \) si analoagele, de unde vom avea ca inegalitatea noastra este echivalenta cu
\( \frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}=\frac{2abc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{2abc}{c^2+a^2-b^2}+\frac{2abc}{a^2+b^2-c^2} \).
Astfel inegalitatea noastra va fi echivalenta cu
\( \frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\geq\frac{1}{2Rr} \). Vom demonstra o inegalitatea mai tare, anume:
Pe de alta parte, folosind inegalitatea elementara,
\( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y},\forall x, y>0 \), vom avea ca
\( \frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\geq\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{1}{2Rr}. \) \( \qed \)