mateforum.ro

Fie a,b,c trei numere pozitive astfel incat abc=1. Sa se arate ca:

\( \sum {\frac{a}{b^2(c+1)}\geq \frac{3}{2}. \)

Cezar Lupu SHL 2005

Sa punem \( a=\frac{x}{y},\ b=\frac{y}{z},\ c=\frac{z}{x}. \) Inegalitatea devine \( \sum\frac{x^2z^2}{y^3(z+x)}\geq\frac{3}{2}. \) Din inegalitatea lui Hölder stim ca \( \sum\frac{x^2z^2}{y^3(z+x)}\sum(z+x) \sum xz \geq \( \sum \frac{xz}{y}\)^3 \). Este suficient sa aratam ca \( 2\( \sum \frac{xz}{y}\)^3 \geq 6\sum x \sum xz. \)
Dar inegalitatea \( \sum \frac{xz}{y}\geq\sum x \) este bine-cunoscuta.
Sa vedem inegalitatea \( \( \sum\frac{xz}{y} \)^2\geq 3\sum xz. \) Fie wlog \( x\geq y\geq z. \)
Cu inegalitatea lui Cebisev pentru sirurile de numere la fel ordonate \( (xy,zx,zy) \) si \( \( \frac{1}{z},\frac{1}{y},\frac{1}{x} \) \) obtinem ca
\( \( \sum\frac{xz}{y} \)^2\geq \frac{1}{9}\(\sum xz\)^2\( \sum \frac{1}{x})^2. \) Dar se vede usor, cu inegalitatea mediilor, ca \( \(\sum xz\)\( \sum \frac{1}{x})^2\geq 27 \) si inegalitatea este demonstrata.

Frumoasa demonstratia, cu precizarea ca dupa deconditionare se putea folosi CBS

\( \sum{\frac{x^2z^2}{y^3(x+z)}\geq \sum{\frac{(\frac{xz}{y})^2}{y(x+z)}\geq \frac{(\sum{\frac{xy}{z})^2}}{2\sum{xy}}\geq \frac{3\sum{x^2}}{2\sum{xy}}=\frac{3}{2} \)