mateforum.ro

Aratati ca pentru orice numere reale a,b,c>0 avem:

\( \frac{a^2+1}{b+c}+\frac{b^2+1}{c+a}+\frac{c^2+1}{a+b}\geq 3 \)

Shortlist ONM 2007

Pentru inceput, din inegalitatea CBS avem ca: \( \Sigma \frac{a^2}{b+c} \geq \frac{a+b+c}{2} \). Tot din CBS avem ca \( \Sigma \frac{1}{b+c} \geq \frac{9}{2(a+b+c)}. \)
Prin adunarea acestor inegalitati obtinem ca \( \Sigma \frac{a^2}{b+c} \geq \frac{a+b+c}{2}+\frac{9}{2(a+b+c)} \geq 2 \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{9}{2(a+b+c)}}=2 \cdot \frac{3}{2}=3 \)

Asa este . Este o problema usurica, dar buna pentru antrenament.

Uita-te la clasa a IX-a , poate este mai interesanta inegalitatea.

Vedeti si aici si aici pentru "perlele" SHL de la clasa a 8-a. Ultima este fara solutie cam de la initierea forumului

Este adevarat Filip , se compenseaza unele pe altele.