mateforum.ro

O chestie care mi s-a parut draguta.

Aratati ca \( Z^m\simeq Z^n \) daca si numai daca \( m=n \).

Bineinteles ca se face cu chestii avansate, gen rangul unui modul, in jumatate de rand. Insa as vrea o demonstratie elementara. Eu am una (din Rotman), care (parerea mea) te face sa simti demonstratia teoremei rangului modulelor peste inele comutative.

***

Fie \( f(e_j)=\sum _{i=1}^n{a_{ij}e_i \), unde f este izomorfismul de la \( \mathbb{Z}^m \) la \( \mathbb{Z}^n \). Matricea \( A=(a_{ij})_{i=\overline{1,n},j=\overline{1,m} \) trebuie sa aiba rangul egal cu numarul de coloane, de unde \( n\leq m \). Analog rezulta \( m\leq n \).

PS. Am notat \( e_i=(0,0,...,1,...0) \) unde 1 se afla pe pozitia i.