mateforum.ro

Sa se arate ca daca \( A \in M_2(\mathbb{R}) \) si exista \( k \in \mathbb{N}, k \ge 3 \) pentru care \( A^k=O_2 \), atunci \( A^2=O_2 \).

Presupunem ca \( A \) are o valoare proprie nenula, \( x \) si fie \( Y \) o matrice coloana nenula care verifica sistemul \( AY=xY \). O astfel de matrice exista pentru ca \( \det(A-xI)=0 \).

Atunci pentru ca \( x \) e nenula avem \( A^kY=xA^k-1Y \Rightarrow A^{k-1}Y=0 \). Procedand astfel ajungem la \( AY=0 \), adica \( xY=0 \) ceea ce este o contradictie cu presupunerea ca \( x,Y \) sunt nenule. Deci \( A \) nu are valori proprii nenule, si astfel polinomul sau caracteristic este \( p_A=X^2 \). Din teorema lui Cayley-Hamilton avem \( A^2=O \).


Problema este adevarata si in cazul general. Vezi si problema I de la concursul studentesc Traian Lalescu...

***

Se poate face si mai usor...

Deoarece \( A^{k}=0 \) avem \( \det(A)=0 \) si din Cayley-Hamilton \( A^{2}=\tr(A)\cdot A \), deci \( A^{k}=\tr(A)\cdot A^{k-1} \).
Acum daca \( \tr(A)=0 \) problema e rezolvata, altfel avem din \( A^{k}=0 \) \( => A^{k-1}=0 \) si coborand exponentul obtinem \( A=0 \).