Inegalitate intr-un triunghi echilateral
Posted: Sun Jun 15, 2008 1:54 am
Fie M un punct in interiorul unui triunghi echilateral de latura 1. Demonstrati ca MA+MB+NC<2.
Fie AA';BB';CC' cele trei ceviene concurente in M, conform teoremei lui Gergone avem dupa prelucrare MA/AA' + MC/CC' + MB/BB' = 2; dar se stie ca intr-un triunghi echilateral orice ceviana este mai mica decat latura deci avem :AA'< 1; BB'<1; CC'< 1 si deci MA/AA' > MA/1 = MA ; MB/BB' > MB/1 = MB ;MC/CC' > MC/1 = MC
Adunand rezulta concluzia
Apoi se arata similiar ca MA+MB+MC>=1,73....egalitate cand M este centrul triunghiului.