mateforum.ro

Fie \( (A,+,\cdot) \) un inel cu urmatoarele proprietati:
i) \( 3x=0\Rightarrow x=0 \);
ii) \( x^3=y^3\Rightarrow x=y \).
Demonstrati ca daca \( a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca \), atunci \( a=b=c. \)

Notam \( x=a-b,\ y=b-c \). Atunci calculand \( x^2+yx+y^2=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0 \). Deci \( y^2+yx+x^2=0 \). Inmultim cu \( y \) la stanga si cu \( x \) la dreapta si scadem relatiile obtinute. Obtinem \( x^3=y^3 \) deci \( x=y \). Deci \( a-b=b-c \) si analog se demonstreaza si \( b-c=c-a \). Daca notam \( x=a-b=b-c=c-a \) atunci \( 3x=0 \), deci \( x=0 \) si \( a=b=c. \)

Era bine sa se precizeze ca problema apare in G.M.B. si este semnata de Cristinel Mortici (eu am un mare respect pentru cei care se apleaca asupra matematicii elementare si incearca cu mici bijuterii sa stimuleze creativitatea elevilor; fara acestia oare cati si care dintre noi ar mai fi urmat facultatea de matematica ...)