mateforum.ro

Uitaţi un criteriu util pentru a decide dacă o aplicaţie e difeomorfism al lui \( \mathbb{R}^n \).

Fie \( f_1,\ldots, f_n \) funcţii reale definite pe \( \mathbb{R}^n \), de clasă \( \mathcal{C}^r \), şi
\( f=(f_1,\ldots, f_n) \).
Atunci \( f \) e \( \mathcal{C}^r \)-difeomorfism dacă şi numai dacă:
1. Iacobianul lui \( f \) nu se anulează în nici un punct.
2. \( \lim_{||x||\rightarrow\infty}|| f(x)|| =\infty. \)

Încercaţi o demonstraţie, vedeţi şi dacă se poate extinde la varietăţi.

L.O.

Nu am verificat cu atenţie totul, dar cred că în general, pentru aplicaţii între varietăţi, ar trebui să fie valabilă varianta următoare:

Fie \( f:M\to N \) o aplicaţie de clasă \( \mathcal{C}^r \) (\( r\ge 1 \)) între varietăţile netede conexe \( M \) şi \( N \). Presupunem că:

(i) \( N \) este simplu-conexă;

(ii) \( f \) este \( \mathcal{C}^r \)-difeomorfism local (echivalent cu a spune că pentru orice punct \( p\in M \), dacă exprimăm \( f \) ca aplicaţie între spaţii euclidiene cu ajutorul unor hărţi în jurul punctelor \( p \) şi \( f(p) \), atunci Iacobianul nu se anulează);

(iii) \( f \) este proprie, adică preimaginea prin \( f \) a oricărei mulţimi compacte din \( N \) este compactă.

Atunci \( f \) este \( \mathcal{C}^r \)-difeomorfism al lui \( M \) pe \( N \).

Corect.
Dacă ai timp, pune si o demonstraţie.
L.O.

Cum deja e \( \mathcal{C}^r \)-difeomorfism local, mai trebuie demonstrată bijectivitatea.

Surjectivitatea:

Orice aplicaţie proprie între spaţii metrice e aplicaţie închisă, deci în particular \( f(M) \) va fi o submulţime închisă a lui \( N \). Pe de altă parte, fiind difeomorfism local, \( f \) e aplicaţie deschisă, deci \( f(M) \) e şi deschisă în \( N \). \( N \) e conexă, şi atunci trebuie să avem \( f(M)=N \).

Bijectivitatea:

Preimaginea prin \( f \) a unui punct \( q\in N \) e compactă (\( f \) e proprie) şi discretă (\( f \) e difeomorfism local), deci finită (e şi nevidă pentru că tocmai am demonstrat surjectivitatea). Fie \( p_i,\ i=\overline{1,n} \) punctele mulţimii \( f^{-1}(q) \). Atunci putem găsi deschişi mici în jurul punctelor \( p_i \) care sunt duşi de \( f \) difeomorf peste un acelaşi deschis din jurul lui \( q \). Rezultă de aici că \( f:M\to N \) e aplicaţie de acoperire. Cum \( N \) e însă simplu-conexă, nu are spaţii de acoperire netriviale.

Excelent! Asta e demonstraţia "standard". Mi se pare interesantă pentru că te duce în mod natural către spaţii de acoperire.
L.O.