mateforum.ro

Fie \( a,b,c \in \mathbb{R}^{*} \). Demonstrati ca \( \sqrt{a^2-ac+c^2}+ \sqrt{b^2-bc+c^2} \geq \sqrt{a^2+ab+b^2} \)

Indicatie: Inegalitatea triunghiului... Mai trebuie gasit acest triunghi

Claudiu, foloseste inegalitatea lui Minkovski (triunghiului): \( \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{a^2+b^2}\geq\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2} \)

Bine punctat Beniamin Bogosel. Fie \( AOB \) un unghi cu masura de \( 120^ \circ \), iar \( C \) un punct pe bisectoarea lui. De asemenea notam
\( a=OA \), \( b=OB \), \( c=OC \). Scriind teorema cosinusului obtinem ca: \( AC^2=a^2+c^2-ac \), \( BC^2=b^2+c^2-bc \), iar \( AB^2=a^2+b^2+ab \).
Inegalitatea din enuntul problemei este echivalenta cu: \( AC+BC \geq AB \).
Este necesara analiza a doua situatii:
\( 1: C\in[AB] \), de unde rezulta ca \( AC+BC=AB \).
\( 2:C\notin[AB] \), de unde rezulta ca \( AC+BC>AB \).
Rezulta cerinta...

Mi se pare ca trebuie o mica discutie: numerele tale nu sunt pozitive in enunt, deci nu poti sa iei direct laturile unui triunghi. Probabil dupa ce schimbi cate un semn in anumite cazuri. Cam tot aceeasi idee se aplica...

Ai dreptate Beniamin Bogosel, in enunt era \( \mathbb{R}_+ \) nu \( \mathbb{R}^* \). Aceasta este o problema din Gazeta Matematica, mai exact problema \( 4 \) de la Concursul Anual al Rezolvitorilor din \( G.M. 11-12/1989 \)

Inegalitatea are loc pentru orice numere reale.