Examen geometrie anul I sem II
Posted: Wed Jun 04, 2008 2:07 pm
1) Se da conica \( \Gamma: 5x^2+8xy+5y^2-18x-18y+9=0 \), intr-un reper cartezian ortogonal al lui \( \mathcal{E}_2 \). Se cer urmatoarele:
a) Natura, gen, clasa;
b) Tangentele din origine la conica;
c) Directiile principale, axe de simetrie, varfuri;
d) Focare directoare;
e) Grafic.
2) a) Sa se scrie ecuatia sferei cu centrul pe axa Oz, care este tangenta in punctul \( A(-1,3,2) \) la dreapta \( d: \left\{ \begin{array}x=1+2t; \\ y=2-t; \\ z=-1-3t;\end{array}\ \ t \in \mathbb{R} \).
b) Sa se determine \( t \in \mathbb{R} \) pentru care sfera \( S: x^2+y^2+z^2-2tx+(1-t)y+8z-16=0 \) are centrul in planul \( \alpha: x-3y+z-12=0 \).
3) Definitii pentru:
a) Asimptote la conice;
b) Diametru conjugat unei directii in raport cu o conica;
c) Focar, directoare, excentricitate;
d) Palaboloid hiperbolic (ecuatie+grafic)
4) a) Enuntati se demonstrati teorema de caracterizare a centrului unei conice (centrul verifica sistemul de ecuatii determinat de semiderivatele partiale in \( x \) si \( y \))
b) Discutati pozitia unui plan fata de o sfera, cat si forma intersectiei (cu demonstratie), alegand una dintre urmatoarele abordari:
-distanta de la centrul sferei la plan;
-discutarea sistemului de ecuatii format cu ecuatia sferei si ecuatia unui plan.
Destul de simplu, dar mult de scris si de calculat
. Sper ca am nimerit coeficientii la problema 2, dar oricum, nu are mare importanta la calcule.
a) Natura, gen, clasa;
b) Tangentele din origine la conica;
c) Directiile principale, axe de simetrie, varfuri;
d) Focare directoare;
e) Grafic.
2) a) Sa se scrie ecuatia sferei cu centrul pe axa Oz, care este tangenta in punctul \( A(-1,3,2) \) la dreapta \( d: \left\{ \begin{array}x=1+2t; \\ y=2-t; \\ z=-1-3t;\end{array}\ \ t \in \mathbb{R} \).
b) Sa se determine \( t \in \mathbb{R} \) pentru care sfera \( S: x^2+y^2+z^2-2tx+(1-t)y+8z-16=0 \) are centrul in planul \( \alpha: x-3y+z-12=0 \).
3) Definitii pentru:
a) Asimptote la conice;
b) Diametru conjugat unei directii in raport cu o conica;
c) Focar, directoare, excentricitate;
d) Palaboloid hiperbolic (ecuatie+grafic)
4) a) Enuntati se demonstrati teorema de caracterizare a centrului unei conice (centrul verifica sistemul de ecuatii determinat de semiderivatele partiale in \( x \) si \( y \))
b) Discutati pozitia unui plan fata de o sfera, cat si forma intersectiei (cu demonstratie), alegand una dintre urmatoarele abordari:
-distanta de la centrul sferei la plan;
-discutarea sistemului de ecuatii format cu ecuatia sferei si ecuatia unui plan.
Destul de simplu, dar mult de scris si de calculat
. Sper ca am nimerit coeficientii la problema 2, dar oricum, nu are mare importanta la calcule.