mateforum.ro

Se poate demonstra ca daca \( A \) este o matrice patratica complexa cu \( A^3=A \), atunci \( A \) este diagonalizabila?

Da pentru ca polinomul minimal al matricei A va avea radacini distincte.
O matrice este diagonalizabila daca si numai daca polinomul minimal are radacinile distincte.
Se poate vedea si geometric ce inseamna asta:
-fie p o valoare proprie a lui A. Multiplicitatea cu care apare ea in poly caracteristic se numeste multiplicitate algebrica. Ai un spatiu propriu asociat lui p (multimea vectorilor proprii asociati acestei valori proprii) si dimensiunea lui se numeste multiplicitate geometrica a lui p. Multiplicitatea geometrica e mai mica sau egala cu multiplicitatea algebrica.
O matrice este diagonalizabila daca si numai daca multiplicitatea geometrica=multiplicitatea alg pt orice valoare proprie.

Multumesc. Cu observatia asta si asta am rezolvat problema aceasta.

Cam asta mi-a venit in cap cand am vazut-o prima oara, dar nu prea m-am chinuit sa demonstrez...