Page 1 of 1
Subiectul 2, Concursul centrelor de excelenta 2008
Posted: Sat May 31, 2008 10:12 pm
by Bogdan Cebere
Sa se arate ca exista un sir de numere reale \( (x_n)_{n \geq 0} \), cu \( x_n \in \( \frac {1}{2n\pi +\frac{3 \pi}{2}},\frac {1}{2n\pi + \frac{\pi }{2}} \) \) astfel incat \( \lim_{n \to \infty} (2x_n \sin \frac{1}{x_n}- \cos \frac{1}{x_n})=\frac{2}{\pi}. \)
Posted: Sat Jun 07, 2008 9:48 am
by Beniamin Bogosel
Din ipoteza,
\( x_n \to 0 \), deci
\( 2x_n\sin \frac{1}{x_n}\to 0 \). Acum mai ramane de aratat ca exista
\( x_n \) in intervalul considerat in ipoteza astfel incat
\( \lim_{n\to \infty}\cos \frac{1}{x^n} =-\frac{2}{\pi} \in (-1,1) \).
Avand in vedere faptul ca
\( \frac{1}{x_n} \in (2n\pi+\frac{\pi}{2}, 2n\pi+\frac{3\pi}{2}) \), si functia cosinus este negativa pe aceste intervale, chiar ia toate valorile din
\( (0,1] \) alegem din fiecare interval un
\( x_n \) astfel incat
\( \cos \frac{1}{x_n}=-\frac{2}{\pi} \) si am terminat.
