mateforum.ro

Sa se arate ca oricare ar fi numerele reale \( a,b,c>0 \) avem:
\( \frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{a+b+c} \geq 2 \).

Mircea Lascu, G.M. 9/2005

\( a^3+b^3+c^3\geq\frac{(a+b+c)^3}{9} \) si notand

\( t=\frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}} \) avem \( t\geq1 \) si este suficient sa demonstram ca \( t^3+\frac{1}{t}\geq2 \) , ceea ce este evident deoarece

\( t^3 \)\( \geq \)\( t \)