Page 1 of 1
Triunghiuri echilaterale
Posted: Tue May 27, 2008 9:18 pm
by Marius Mainea
Pe laturile triunghiului echilateral ABC de latura 1 , se afla respectiv varfurile triunghiului echilateral A'B'C' de latura \( \frac{1}{2} \).
Demonstrati ca A',B',C' sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC.
Marius Mainea RMT 2/2008
Posted: Tue May 27, 2008 10:08 pm
by Ahiles
Evident ca \( \triangle{A\prime BC\prime }\equiv\triangle{A\prime B\prime C}\equiv\triangle{AB\prime C\prime } (ULU) \Rightarrow AC\prime +AB\prime = B\prime C+CA\prime =A\prime B+BC\prime =1 \)
Fie \( AC\prime =a, AB\prime =b. \) Aplicam teorema cosinusului in \( \triangle{AB\prime C \prime} \):
\( a^2+b^2-ab=\frac{1}{4} \Leftrightarrow (a+b)^2-\frac{1}{4}=3ab \Leftrightarrow ab=\frac{1}{4} \).
\( (a+b)^2=1=4ab \Leftrightarrow a^2+b^2=2ab \) , deci \( a=b, \) de unde rezulta concluzia.