Page 1 of 1
Romanian TST I 2008, Problema 3
Posted: Fri May 02, 2008 11:52 am
by Laurian Filip
Un hexagon convex ABCDEF are toate laturile de lungime 1. Demonstrati ca una dintre razele cercurilor circumscrise triunghiurilor ACE si BDF are lungimea cel putin 1.
Kvant
Posted: Fri May 02, 2008 12:06 pm
by Beniamin Bogosel
Mie mi se pare ca am facut-o la lot in a 7-a cu domnul prof. Dinu Serbanescu.
Solutia mea e simpla si scurta.
Folosim urmatoarea lema:
Daca
\( XYZT \) este un patrulater convex cu
\( XY=XT=1 \) si
\( ZY=ZT=R<1 \) atunci
\( \angle{YXT}<\angle{YZT} \).
Lema se demonstreaza usor cu teorema cosinusului, tinand cont ca functia cos e descrescatoare pe
\( [0,\pi] \).
Acum presupunem ca
\( R<1,R^\prime<1 \), razele celor doua cercuri circumscrise triunghiurilor
\( ACE, BDF \) si folosind lema obtinem ca
\( \angle{A}+\angle{C}+\angle{E}<360 \\
\angle{B}+\angle{D}+\angle{F}<360 \) si adunand aceste inegalitati obtinem ca suma unghiurilor hexagonului este mai mica decat 720. Contradictie!
