Page 1 of 1
JBTST I 2007, problema 2
Posted: Sun Apr 20, 2008 7:59 am
by Laurian Filip
Un trapez \( ABCD \) are bazele \( AB \) si \( CD \), iar cercurile cu diametrele \( AD \) si \( BC \) se intersecteaza in punctele M si N. Sa se arate ca punctul de intersectie al diagonalelor \( AC \) si \( BD \) apartine dreptei \( MN \).
Posted: Sun Dec 21, 2008 11:00 pm
by maxim bogdan
Fie \( P,Q \) mijloacele segmentelor \( [AD] \)si respectiv \( [BC] \). De asemenea notam cu \( I \) intersectia diagonalelor \( AC \) si \( BD \) ale trapezului.
Se observa usor faptul ca \( MN \) este axa radicala a cercurilor de diametre \( [AD] \) si \( [BC] \). Mai ramane sa demonstram ca \( I \) se afla pe axa radicala a celor doua cercuri
\( \Leftrightarrow\rho_{C(P;\frac{AD}{2})}(I)=\rho_{C(Q;\frac{BC}{2})}(I) \)
\( \Leftrightarrow IP^2-\frac{AD^2}{4}=IQ^2-\frac{BC^2}{4}. \) Aplicand Teorema medianei in \( \triangle IAD \) si in \( \triangle IBC \) relatia de demonstrat este echivalenta cu:
\( IA^2+ID^2-AD^2=IB^2+IC^2-BC^2 \)
\( \Leftrightarrow 2\cdot IA\cdot ID\cos(\angle AID)=2\cdot IB\cdot IC\cos(\angle BIC) \) (Am folosit Teorema cosinusului).
\( \Leftrightarrow\frac{IA}{IC}=\frac{IB}{ID} \) relatie care rezulta imediat din asemanarea triunghiurilor \( AIB \) si \( CID \).