mateforum.ro

Fie r un număr real, cu proprietatea \( (2^nr-{\frac{1}{4}},2^nr+{\frac{1}{4}}){\cap}Z{\neq}{\O} \)(multimea vida...) pentru orice \( n \in N \). Să se arate că \( r \) este număr întreg.

Ciprian Baghiu

pentru ca conditia sa fie indeplinita \( \lbrace \)\( 2^nr}\in (0,\frac{1}{4}]\cup[\frac{3}{4},1) \)

pentru \( n=0 \) avem \( \lbrace \)\( r}\in (0,\frac{1}{4})\cup(\frac{3}{4},1) \)

Cazul I.
\( r=a+x \) cu a natural si \( x\in (0,\frac{1}{4}) \)
evident exista k natural astfel incat \( x\in[{\frac{1}{2^k+1},\frac{1}{2^{k}}) \)
\( 2^{k-1}r=2^{k-1}a+2^{k-1}x \)
\( \lbrace \)\( 2^{k-1}r}=[\frac{1}{4},\frac{1}{2}) \)

Cazul II
\( r=a-x \) cu a natural si \( x\in (0,\frac{1}{4}) \)
Analog vom gasi \( k \) astfel incat \( \lbrace \)\( 2^{k-1}r}=[\frac{1}{2},\frac{3}{4}) \)

Asadar in ambele cazuri gasim cate un exponent pentru care conditia nu este indeplinita. De unde rezulta \( x=0 \) => \( r \) este intreg.