mateforum.ro

Fie \( a,b \) numere întregi distincte cu proprietatea că există \( n \) număr real astfel încât
\( a^3-a=b^3-b=n \). Să se arate că \( n = 0 \) .

\( a^3-a=b^3-b \)
\( a^3-b^3=a-b \)
\( (a-b)(a^2+ab+b^2)=a-b \). \( a+b \not=0 \), deci:
\( a^2+b^2=1-ab \). Deci
Din inegalitatea mediilor avem:
\( 0 \le 1-ab=a^2+b^2>2|ab| \Leftrightarrow 2|ab|+ab< 1 \). Pentru \( ab \) negativ avem \( -2ab+ab<1 \) sau \( ab>-1 \). Pentru \( ab \) pozitiv avem \( 2ab+ab<1 \) sau \( ab<\frac{1}{3} \).
Deci avem un sigur caz \( ab=0 \). Deci unul din numere este egal cu \( 0 \) si \( n=0 \)

Nu e cumva \( a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)? \)

Da, ai dreptate, eu am gresit...

Solutie. Sa consideram polinomul \( P\left(x\right)=x^{3}-x-n \). Deoarece acest polinom are radacinile \( a,b,n \), scriind relatiile lui Viete, avem: \( \begin{cases}
a+b+n=0\\
ab+n\left(a+b\right)=-1\\
abn=n\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}
a+b=-n\\
ab+n\left(a+b\right)+1=0\\
abn=n\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}
ab+1=n^{2}\\
abn=n\end{cases} \).

Daca \( n\neq0 \) atunci \( ab=\frac{n}{n}=1 \) si deci \( n^{2}=2 \). Rezulta ca \( n\in\left\{ \pm\sqrt{2}\right\} \), dar cum \( n\in\mathbb{Z} \) obtinem o contradictie.

Asadar, deoarece presupunerea facuta este falsa, rezulta ca \( n=0 \).

De ce P are radacina n?

M-am grabit putin se pare.

\( a^{3}-a=b^{3}-b\Longleftrightarrow a^{3}-b^{3}-\left(a-b\right)=0\Longleftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}-1\right)=0 \).

Dar \( a \neq b \) deci \( a^{2}+ab+b^{2}-1=0 \). Discriminantul acestei ecuatii este \( \Delta=b^{2}-4\left(b^{2}-1\right)=-3b^{2}+4 \). Cum trebuie ca \( \Delta \ge 0 \) avem ca \( \Delta\ge0\Longleftrightarrow0\le3b^{2}\le4\Longleftrightarrow0\le\left|b\right|\le\frac{2\sqrt{3}}{3}<\frac{2\cdot3}{3}=2\Longleftrightarrow\left|b\right|\in\left\{ 0,1\right\} \).

Analizand situatiile cand \( \left|b\right|=0,\:\left|b\right|=1 \) obtinem \( n=0 \)