mateforum.ro

La sfirsitul unei ore de algebra elevul nostru s-a trezit din somn si a mai apucat sa-l auda pe profesor spunand:"...si va voi da indicatia ca toate radacinile sunt reale si pozitive". Uitindu-se la tabla el a vazut tema pentru acasa - rezolvarea unei ecuatii de gradul 20 - pe care a inceput sa o copieze in graba. Pina cind a reusit sa copieze primii doi termeni, \( x^{20}-20x^{19} \), profesorul a sters toata tabla si elevul nu a mai reusit sa vada decat ca ultimul termen este +1.
Puteti sa-l ajutati pe eroul nostru sa rezolve ecuatia?



(P.S. ..... ca o relaxare intre 2 probleme grele )

Sa inteleg ca nu va plac astfel de probleme? E destul de simpla. Probabil ca de-aia nu a postat nimeni raspuns .
Se observa ca radacinile \( x_1,x_2,...,x_{20} \) sunt reale si pozitive, si \( x_1+...+x_{20}=20 \) si \( x_1x_2...x_{20}=1 \), deci, din inegalitatea mediilor toate sunt egale cu 1. Astfel elevul a si rezolvat ecuatia, si poate si sa scrie ecuatia completa, aceasta fiind in forma restransa \( (x-1)^{20}=0 \).

Foarte dragutza problema, dar nu-i de clasa a IX-a: relatiile lui Viete pentru un polinom oarecare se invata acum in clasa a XII-a .