mateforum.ro

O functie \( f : (a,b) \to R \) are ambele derivate laterale finite in orice punct din (a,b). Sa se arate ca \( f \) derivabila in orice punct din \( (a,b) \) cu exceptia unei multimi cel mult numarabile.

Pentru \( r \in Q \) definim multimea
\( A_{r}:=\{ x \in (a,b) | f^{\prime} _{s}(x)<r<f^{\prime} _{d}(x) \} \).
Este suficient sa aratam ca fiecare dintre multimile \( A_{r} \) este cel mult numarabila.
Fie functia \( g(x)=f(x)-rx \).
\( g^{\prime}_{s}(x)<0<g^{\prime}_{d}(x) \) pentru \( x \in A_{r} \). Deci x este punct de minim strict pentru g, de unde concluzia.