mateforum.ro

Daca \( m,n,p \in \mathbb{N}^*, m>n \) atunci orice solutie reala (daca exista) a ecuatiei \( x^m=x^n+1 \) este irationala.

Presupunem prin absurd ca ecuatia are o solutie rationala x. Din \( m>n \) si \( p>0 \) rezulta ca x este pozitiv. Atunci avem \( x=\frac{a}{b} \) unde \( a \) si \( b \) sunt numere naturale, prime intre ele.

\( x^m=x^n+p \)
\( (\frac{a}{b})^m=(\frac{a}{b})^n+p \)
\( a^m=a^nb^{m-n}+pb^m \)
\( a^m=b^{m-n}(a^n+p) \)

Cum \( (a,b)=1 \), atunci si \( (a^m,b^{m-n})=1 \).

Asadar din \( a^m=b^{m-n}(a^n+p) \) rezulta ca \( b=1 \).

Ecuatia devine \( a^m=a^n+p \).

Am impresia ca nu toate solutile trebuie sa fie irationale
Cred ca solutile nenaturale sunt irationale...

ai gresit acolo ..ai scris \( x^m=x^n+p \) pe cand e \( x^m=x^n+1 \) ...
continuand cum ai facut tu iese \( a^m=a^n+1 \) care e Conjectura lui Catalan ...nu stiu dak se poate demonstra la nivel de a 7-a ...

enuntul a fost modificat dupa ce am scris... era cu p inainte si nu dadea bine.

si daca ramane \( a^m=a^n+1 \) unde a,m si n sunt naturale nu ti se pare ca e gata?

ah ,da ,e gata.
Ramasesem cu ideea ca ar fi \( a^m=b^n+1 \) care nu era asa evident.