mateforum.ro

Daca \( (p_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}} \) reprezinta sirul numerelor prime, atunci sa se arate ca seria \( \sum_{n \ge 1} \frac{p_{n+1}-p_{n}}{n^{2}} \) este convergenta.

Laurentiu Panaitopol, GMA 1971

Hai sa trag si eu cu tunul in muste!

Pai seria asta este convergenta pentru ca din inegalitatea lui Mozzochi, i.e.

\( p_{n+1}-p_{n}< M\cdot n^{0,55} \), vom avea ca seria

\( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{p_{n+1}-p_{n}}{n^2} \) este majorata de seria \( M\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1,55}} \). Acum, din criteriul comparatiei, rezulta ca seria noastra este convergenta. \( \qed \)

P.S. In Gazeta Matematica este prezentata o solutie foarte lunga, dar mai elementara.

Cezar, chiar ca tragi cu tunul in muste! Nici n-am auzit de Mozzochi pana acum.

Faceti mai intai exercitiul asta:

Fie \( (a_n) \) un sir oarecare. (Real, complex, de care vreti.) Sa se arate ca daca \( a_n/n^2 \) converge la zero si \( {\sum}a_n/n^3 \) e convergent atunci si \( {\sum}(a_{n+1}-a_n)/n^2 \) e convergent. (Daca in plus stim ca \( a_n \) sunt reale pozitive atunci avem chiar daca si numai daca, adica cele 2 conditii sunt si necesare.)

Dupa aia aratati ca sirul \( (p_n) \) satisface cele 2 conditii. E suficient faptul ca \( p_n/(n{\log}n) \) e marginit, care se poate arata elementar, cu combinari (Cebisev parca).

Indicatie pt. exercitiu: Iese in 2-3 randuri.