Page 1 of 1
Inegalitatea 2, cu radicali
Posted: Mon Oct 01, 2007 10:09 pm
by Cezar Lupu
Fie \( x, y, z \) numere reale strict pozitive astfel incat \( x+y+z=3 \). Sa se arate ca \( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx. \)
Baraj Russia, 2002
Posted: Sat Jun 21, 2008 5:34 pm
by Marius Mainea
Inegalitate se mai scrie:
\( \sum \sqrt{x}\geq\frac{1}{2}( (x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2) \)
adica
\( \sum x^2+2\sum sqrt{x}\geq9 \).
Dar \( x^2+2\sqrt{x}=x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq3\sqrt[3]{x^2\sqrt{x}\sqrt{x}}=3x \)
si analoagele.
Prin sumarea acestor relatii obtinem inegalitatea din enunt.