mateforum.ro

Demonstrati ca orice sir contine un subsir monoton.

Numim "gigant" \( x_{n_0} \) cu \( x_{n_0} \geq x_n , (\forall) n \geq n_0 \).
Cazul 1. Sirul contine o infinitate de giganti. Fie acestia \( x_{k_1} , x_{k_2}, x_{k_3}, ... \) cu \( k_1 \leq k_2 \leq k_3 \leq ... \)
Atunci avem: \( x_{k_1} \geq x_{k_2} \geq x_{k_3} \geq... \), adica subsirul gigantilor este descrescator.
Cazul 2. Sirul contine un numar finit de giganti.
Fie \( n_0 > \) rangul ultimului gigant. Consideram \( x_{n_0} \).
Atunci \( (\exists) n_1 < n_0 \) cu \( x_{n_1} > x_{n_0} \)
\( (\exists) n_2 < n_1 \) cu \( x_{n_2} > x_{n_1} \)
...
\( \Rightarrow \) subsirul gigantilor (un sir finit) este monoton.

***

Nu stiam. Mie mi-a spus-o cineva Oricum, placerea a fost de partea mea

Dupa parerea mea, cea mai frumoasa demonstratie este cea a lui N. Dinculeanu la cursul din anul I de "Analiza reala" identica cu cea a lui M. Nicolescu & Solomon Marcus la cursul din anul II de "Spatii metrice".

Pasul I. Orice sir contine un subsir care are limita (lemma Cesaro extinsa).
Daca sirul este nemarginit superior (la dreapta), atunci contine un subsir cu limita \( \infty \) .
Daca sirul este nemarginit inferior (la stanga), atunci contine un subsir cu limita \( -\infty \) .
Daca sirul este marginit, atunci contine un subsir convergent (lema Cesaro restransa).
Pasul II. Orice sir care are limita contine un subsir monoton.