mateforum.ro

Notand a=BC, b=AC, c=AB lungimile laturilor triunghiului ABC demonstrati ca \( P=\ sqrt {\sqrt{a^3 b}+\sqrt{ab^3}-ab}+\sqrt{sqrt{a^3 c}+sqrt{ac^3}-ac}+\sqrt{sqrt{b^3 c}+sqrt{bc^3}-bc} \)
daca si numai daca triunghiul ABC este echilateral, P reprezantand perimetrul triunghiului ABC.

Claudiu Mindrila

\( "\Rightarrow"\ \sum{\sqrt{\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}-ab}}=\sum{\sqrt{\sqrt{ab}(\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}-\sqrt{ab})}}=\sum{\sqrt{\sqrt{ab}(a+b-\sqrt{ab})}} \).

Din inegalitatea mediilor, \( \sum{\sqrt{\sqrt{ab}(a+b-\sqrt{ab})}}\le \sum{\frac{a+b-\sqrt{ab}+\sqrt{ab}}{2}}=\sum{\frac{a+b}{2}}=a+b+c=P. \)

Atunci avem egalitate, ceea ce inseamna ca \( a+b-\sqrt{ab}=\sqrt{ab} \) si analoagele \( \Rightarrow a+b-2\sqrt{ab}=0 \Rightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=0\Rightarrow a=b \). Din celelalte doua relatii, obtinem \( b=c \) si \( c=a \). Deci \( a=b=c \), adica triunghiul este echilateral.

\( "\Leftarrow"\ \sum{\sqrt{\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}-ab}}=\sum{\sqrt{\sqrt{a^4}+\sqrt{a^4}-a^2}}=\sum{\sqrt{a^2+a^2-a^2}}=\sum{\sqrt{a^2}}=\sum{a}=3a=P. \)