mateforum.ro

Sa se determine \( z \in \mathbb{C} \) stiind ca \( |1+z^{2n+1}| \leq 1 \) pentru orice \( n \in \mathbb{N} \).

[Costel Chites, ONM Shortlist 2004]

([Editat de Filip C.] : am modificat sursa)

Fie \( z=r(\cos a+i\sin a) \).

Daca \( r=0 \), rezulta \( z=0 \) si este solutie.

Pentru \( r\geq 0 \)

\( |1+z^{2n+1}|=|1+r^{2n+1}(\cos(2n+1)a+i\sin(2n+1)a)| \)

Pentru ca modulul sa fie mai mic sau egal ca 1 si partea reala si cea imaginara trebuie sa fie mai mici sau egale ca 1 (egale cu 1 cand cealalta e 0).

Rezulta \( \cos(2n+1)a \) este negativ sau 0.

Pentru n=0 avem \( a\in\ \[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\] \). Impartind acest interval in alte intervale mai mici pentru fiecare dintre ele vom gasi un n astfel incat \( \cos(2n+1)a \) sa fie pozitiv sau 0. Se arata destul de usor prin inductie...

Raman doar cazurile:
I. \( a=\frac{\pi}{2} \) sau \( a=\frac{3\pi}{2} \), cand partea reala a lui \( 1+z^{2n+1} \) este \( 1 \).
Dar in ambele cazuri \( \sin(2n+1)a\neq 0 \), de unde si modulul este supraunitar.

II. \( a=\pi \)
\( z=|1-r^{2n+1}| \) care este real si gasim \( z=[-1,0) \).

Asadar solutia este \( z\in [-1,0] \).