mateforum.ro

Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie continua astfel incat \( \int_0^1f(x)dx=0 \). Sa se arate ca exista \( c\in (0,1) \) astfel incat \( \int_0^c xf(x)dx=0 \).

Cezar Lupu & Tudorel Lupu, ONM 2006

Presupunem ca \( \int_{0}^{t}xf(x)dx \) >0 pentru orice \( t\in (0,1) \). Fie \( F(t)=\int_{0}^{t}f(x)dx \). Atunci ceea ce am presupus devine \( \int_{0}^{t}xf(x)dx=xF(x)|_{0}^{t}-\int_{0}^{t}F(x)dx>0 \) pentru t in (0,1). Trecand t la limita spre 1 si tinand cont de ipoteza, ca F(1)=0, obtinem \( \int_{0}^{1} F(x)dx\leq 0 \) (*)
Acum, daca ne uitam la derivata functiei \( \frac{\int_{0}^{t}F(x)dx}{t} \) pe intervalul (0,1) obtinem ca este \( \frac{tF(t)-\int_{0}^{t}F(x)dx}{t^2}>0 \) deci functia e strict crescatoare pe (0,1), deci si pe [0,1] (prelungita prin continuitate).
In 0, ea este 0, deci \( \int_{0}^{1}F(x)dx>0 \), contradictie cu (*).
Analog, \( \int_{0}^{t}xf(x)dx \) <0 duce la contradictie. Deci nu are semn constant pe (0,1) deci se anuleaza intr-un \( c\in (0,1) \), QED