mateforum.ro

In ipoteza ca \( a, b, c > 0 \) si \( a + b + c = 1 \), sa se arate ca:
1) \( \sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{bc} + \sqrt{a+bc}} \ge \sqrt{3} \)
2) \( \sum \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a} + \sqrt{a+bc}} \ge \frac{3}{2+\sqrt{3}} \).

Pentru 1):

Se deconditioneaza cu \( a\mapsto\frac{a}{a+b+c} \) si analoagele apoi inegalitatea se reduce la \( \sum \frac{\cos\frac{A}{2}}{\sin\frac{A}{2}+1} \)\( \geq\sqrt{3} \) unde A,B,C sunt unghiurile triughiului de laturi b+c,c+a respectiv a+b.

Insa functia \( f(x)=\frac{\cos x}{\sin x+1} \) este convexa pe intervalul \( [0,\frac{\pi}{2}] \), si conform inegalitatii lui Jensen problema este rezolvata.

Pentru 2):

Se procedeaza analog considerind functia \( f(x)=\frac{\sin x}{\cos x+1} \) care este deasemenea convexa pe acelasi interval.

Felicitari! Intr-adevar, aceasta este solutia pe care am gasit-o si eu.
A mai ramas problema de aici. Mult succes!