mateforum.ro

Gasiti, pentru fiecare numar real \( \epsilon\geq 0 \), o submultime masurabila de masura Lebesgue \( \epsilon \) in \( \mathbb{R}^2 \) pentru care intersectia cu orice cerc este nevida. Demonstrati ca multimea gasita are aceste doua proprietati.

Admitere SNSB, 2002

Notam \( Q\subset \mathbb{R}^2 \) multimea tuturor dreptelor cu abscisa rationala.

Fie \( A_\varepsilon=(0,\varepsilon)\times (0,1) \cup Q \).

Pentru ca \( m(A_\varepsilon)=m((0,\varepsilon)\times (0,1))+m(A_\varepsilon\setminus (0,\varepsilon)\times (0,1))=\varepsilon+0 \), pentru ca \( A_\varepsilon\setminus (0,\varepsilon)\times (0,1) \subset Q \), care e e de masura Lebesgue nula pentru ca e reuniune numarabila drepte care au masura Lebesgue nula, si orice submultime a sa este atunci masurabila Lebesgue de masura nula. Evident ca aceasta multime intersecteaza orice cerc.

Imi pare ciudat enuntul, sigur asa a fost data problema? Nici un analist serios nu cere ceva \( \geq 0 \). Fie ceri direct o multime neglijabila, fie ceva \( >0 \) in caz ca nu exista una care sa fie chiar \( 0 \) cum e cazul aici.