mateforum.ro

Daca functia \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) este continua, sa se arate ca

\( \int_0^1f^{2}(x^{2})dx\geq\frac{3}{4}\left(\int_0^1f(x)dx\right)^{2} \).

Laurentiu Panaitopol, Olimpiada Judeteana Giurgiu, 1991

Cezar Lupu wrote:Daca functia \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) este continua, sa se arate ca

\( \int_0^1f^{2}(x^{2})dx\geq\frac{3}{4}\left(\int_0^1f(x)dx\right)^{2} \).

Laurentiu Panaitopol, Olimpiada Judeteana Giurgiu, 1991

Din inegalitatea Cauchy avem \( \int_0^1f^{2}(x^{2})dx\int_0^1(2x)^2dx\geq\left(\int_0^1f(x^2)2xdx\right)^{2} \).

Dar \( \int_0^1f(x^2)2xdx=\int_0^1f(x)dx \) si \( \int_0^1(2x)^2dx=4/3 \) de unde rezulta concluzia.