mateforum.ro

Fie X varietate complexa proiectiva neteda si D un divizor neted asociat un unui fibrat foarte amplu pe X.
Fie \( r:\mathcal {O}_X\to\mathcal{O}_D \) aplicatia naturala. Aratati ca\( H^i(r) \) este un izomorfism pentru \( i=\overline{0,n-2} \) si injectiva pentru \( i=n-1 \).

[Errata] Din nou multumesc lui grobber pentru observatia ca trebuie lucrat peste \( \mathbb C \).

Avem sirul exact
\( 0\to \mathcal{L}^*\to \mathcal O_X\to \mathcal O_D\to 0 \)
unde \( \mathcal{L} \) este fibratul foarte amplu din ipoteza (fiindca \( \mathcal{L}^*\simeq \mathcal{I}_D \))
Folosim sirul lung in coomologie:

\( \cdots\to H^i(\mathcal{L}^*)\to H^i(\mathcal{O}_X)\to H^i(\mathcal{O}_D)\to H^{i+1}(\mathcal L^*)\to\cdots \).

Din teorema de anulare a lui Kodaira (vz de ex Hartshorne Alg.Geom. III.7.15 [e doar enuntul aici]) \( H^i(\mathcal L^*)=0 \) pentru \( i<n \).

De aci rezulta ca \( H^i(\mathcal{O}_X)\to H^i(\mathcal O_D) \) este izomorfism pentru \( i<n-1 \) si injectiv pentru \( i=n-1 \).

Doar o mica remarca, poate utila cuiva. In demonstratia lui Dragos nu se foloseste nicaieri faptul ca divizorul e neted si nici ca fibratul e FOARTE amplu, ci doar amplu. Cu aceasta mica "generalizare" enuntul poate utilizat in a arata de exemplu ca un divizor apartinand unui sistem liniar asociat unui fibrat amplu e musai conex (daca are dimensiune cel putin 1, evident).
Ca un comentariu "istoric" (si nu numai): de fapt, dedesubt se ascunde "teorema Lefschetz a sectiunii hiperplane"....

apropo de remarca: primul lucru la care m-am gandit a fost "ce seamana asta cu teorema lui Lefschetz" :)

De fapt, in "setting"ul dat, chiar este un caz particular la Lefschtez. Asta pentru ca Lefschetz (versiunea pentru coomologie, nu cea mai "dura", cea pt. omotopie) ne spune ca aplicatia de restrictie in coomologia DeRham (de fapt, \( i^* \) unde \( i \) este incluziunea lui D in X) este iso, resp. injectiva in range-urile din enunt. Cum e vorba de o aplicatie olomorfa intre var. complexe, ea respecta descompunerea Hodge, si gata (beh, de fapt rezulta mai mult decat egalitatea \( h^{0,i}(X)=h^{0,i}(D) \); rezulta chiar \( h^{i.j}(X)=h^{i,j}(D) \) in range-ul care trebuie pentru \( i+j \)!). Evident, ce am scris acum e valabil doar pentru D=neted si FOARTE amplu; de fapt insa, este adevarat pentru orice D (neted sau nu) si doar amplu, din teorema de anulare Kodaira-Akizuki-Nakano....