mateforum.ro

Fie \( f:X\to Y \) o aplicatie birationala proprie (in particular surjectiva) de varietati algebrice netede de dimensiune n. Atunci \( f_*\mathcal O_X(K_X)=\mathcal O_Y(K_Y) \), unde \( K_X \) este un divizor asociat fibratului canonic asociat lui X, adica \( \wedge^nT_X^* \) i.e. puterea exterioara de rang(grad?) maxim a fibratului cotangent la X.
Deci \( \mathcal O_X(K_X)=\wedge^nT_X^* \).

Ideea va fi să folosim problema de aici. Demonstraţia de acolo arată că imaginea directă a unui fibrat în drepte asociat unui divizor efectiv \( D \) cu proprietatea că \( f(D) \) are codimensiune \( \ge 2 \) este chiar fascicolul structural \( \mathcal{O}_Y \).

O să notez cu \( \omega_X \) şi \( \omega_Y \) fascicolele canonice pe \( X \) şi respectiv \( Y \). Să presupunem acum că am arătat următorul fapt: \( \omega_X=f^*(\omega_Y)\otimes\mathcal L \), unde \( \mathcal L \) este un fascicol inversabil asociat unui divizor \( D \) cu proprietăţile mentionate mai sus. Aşa-numita formulă de adjuncţie spune că \( f_*(f^*(\omega_Y)\otimes\mathcal{L}) \) e canonic izomorf cu \( \omega_Y\otimes f_*(\mathcal{L}) \). Cum din problema din link ştim că \( f_*(\mathcal{L})=\mathcal{O}_Y \), am terminat: obţinem exact relaţia dorită \( f_*(\omega_X)=\omega_Y \).

Rămâne deci să demonstrăm că într-adevăr avem \( \omega_X=f^*(\omega_Y)\otimes\mathcal L \) cu \( \mathcal L \) ca mai sus, adică asociat unui divizor efectiv \( D \) pe \( X \) dus de \( f \) într-o mulţime de codimensiune cel puţin \( 2 \).

În primul rând, avem o aplicaţie biraţională \( g:Y\to X \) inversă lui \( f \), dar care bineînţeles că nu e definită global în general, ci numai pe un deschis. Afirm că în orice caz, aplicaţia asta e definită peste tot mai puţin pe o mulţime de codimensiune \( \ge 2 \). Cu alte cuvinte, \( f \) induce un izomorfism al unui deschis din \( X \) cu un deschis al lui \( Y \) al cărui complement în \( Y \) are codimensiune \( \ge 2 \). Pentru a arăta asta, e suficient să găsim, pentru fiecare inel local \( O_y \) de dimensiune \( 1 \) pe \( Y \), un morfism \( u:\mbox{Spec}\ O_y\to X \) astfel încât \( f\circ u \) să fie chiar aplicaţia canonică \( \mbox{Spec}\ O_y\to Y \). Că aşa ceva e posibil se vede imediat din criteriul valuativ ca un morfism să fie propriu (având în vedere faptul că un inel local regulat de dimensiune \( 1 \) e inel de valuare discretă).

Acum, morfismul \( f \) ne dă o aplicaţie canonică \( f^*\Omega_{Y/k}\to\Omega_{X/k} \) (e vorba de fascicolele cotangente), aplicaţie care la rândul său va induce o alta \( \varphi:f^*(\omega_Y)\to\omega_X \) (\( \omega \) fiind puterea exterioară de rang \( \dim X=\dim Y \) a lui \( \Omega \)). Ştim din paragraful anterior că \( \varphi \) e izomorfism pe un deschis \( U\subset X \) al cărui complement e dus de \( f \) în ceva de codimensiune \( \ge 2 \). Dacă scriem \( \omega_X=f^*(\omega_Y)\otimes\mathcal L \) pentru un fascicol inversabil \( \mathcal L \), atunci \( \varphi \) provine dintr-un morfism \( \mathcal{O}_X\to\mathcal L \) care e izo pe \( U \). Avem aşadar o secţiune a lui \( \mathcal L \) care generează \( \mathcal L \) pe \( U \). Divizorul \( D \) asociat acestei secţiuni are toate proprietăţile căutate: e efectiv şi imaginea suportului său prin \( f \) are codimensiune cel puţin \( 2 \).

Frumos.
Vreau sa adaug ca exista un mod de a spune explicit cine este acel \( \mathcal L \). Se numeste fascicolul canonic relativ, este efectiv, iar un divizor asociat se noteaza cu \( K_{X/Y} \).

Notatia bineinteles ca nu spune nimic, dar putem sa il calculam daca avem f dat in coordonate locale. Asemenea coordonate exista din ipoteza de netezime, iar f arata ca o aplicatie:
\( (x_1,\ldots,x_n)\to (P_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots, P_n(x_1,\ldots,x_n)) \) cu \( P_i \) polinoame. Atunci in coordonatele alese, \( K_{X/Y} \) este dat de anularea Jacobianului aplicatiei de mai sus i.e. \( J(f)=\det(\frac{\partial P_i}{\partial X_i})_{i,j=\overline{1,n}} \)

Tot ce trebuie se verifica usor.