mateforum.ro

Sa se determine pentru ce valori ale lui \( a\in[0,\infty) \) exista functii continue \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) a.i. :

\( f(f(x))=(x-a)^2 \)

Dorel Mihet, Olimpiada Judeteana 2008

Heh, rezolvarea mea (care credeam ca e buna, dar totusi nu e (!)).

Cum \( f \) este continua, presupunem ca exista un interval \( I\subset \mathbb{R} \) astfel incat, \( \forall x \in I \), \( f(x)=c \), \( c \in \mathbb{R} \)
Atunci, \( f(f(x)) = f(c) \), care este o constanta.
In acelasi timp, \( f(f(x)) = (x-a)^2 \), \( \forall x \in I \).
Din cele doua relatii rezulta ca \( (x-a)^2 \) este constanta pe un interval, fals (pentru ca \( a \) este un numar constant). Deci \( f \) nu poate fi constanta pe niciun interval.

Tot pentru ca \( f \) este continua, am considerat intervalul \( J\subset (0,\infty)\subset\mathbb{R} \), astfel incat \( f \) sa fie strict monotona pe acesta. Atunci \( f(f(x)) \) este functie strict crescatoare, deci si \( (x-a)^2 \) este strict crescatoare pe \( J \), ceea ce este adevarat pentru ca \( J\subset(0,\infty) \)
Fie \( K\subset(-\infty,0)\subset\mathbb{R} \), pentru care \( f \) strict monotona pe acesta. Din nou, \( f(f(x)) \) este strict crescatoare \( \Rightarrow (x-a)^2 \) strict crescatoare pe un interval din \( (-\infty,0) \). Contradictie, pentru ca \( a \in [0,\infty) \), iar pe acest interval, \( (x-a)^2 \) este strict descrescatoare - deci am gasit un interval pentru care oricare ar fi \( a \) din \( [0,\infty) \) nu se respecta ipoteza..

Asadar, eu n-am reusit sa gasesc un astfel de \( a \), pornind de la ideea ca daca f este functie continua, ea are o infinitate de intervale din \( \mathbb{R} \) pe care e monotona (care nu sunt sigura daca e adevarata, dar asa imi pare mie).

blanche2negru wrote:...pornind de la ideea ca daca f este functie continua, ea are o infinitate de intervale din \( \mathbb{R} \) pe care e monotona (care nu sunt sigura daca e adevarata, dar asa imi pare mie).

Nu vad nici un motiv pentru care sa se intample ceea ce spui si cred ca putem gasi exemple de functii continue pe \( \mathbb{R} \) si care nu sunt monotone pe nici un interval.

Oricum, am fost grabita cu \( f(f(x)) \) strict crescatoare, pentru ca am uitat sa verific daca \( f(x) \) se afla in intervalul din care l-am ales si pe \( x \).