Problema lui PhilAndrew
Posted: Sun Feb 24, 2008 11:10 pm
Incercati o demonstratie sintetica pentru problema lui PhilAndrew (demonstratia ii apartine) :
Observam ca \( \omega\cdot\overline {\omega} = 1 \), a\( + c = b + d \), adica \( d = a + c - b \) si \( \left\{\begin{array}{c} e = a + \omega (b - a) \\
\ f = c + \omega (b - c)\end{array} \).
1) . Se observa ca \( e - f = (a - c)(1 - \omega ) \) si \( 1 - \omega = 2\cdot\sin\frac {\alpha}{2}\left(\cos\frac {\pi + \alpha }{2} + i\cdot\sin\frac {\pi + \alpha}{2}\right) \), adica
\( EF = 2\cdot AC\cdot\sin\frac {\alpha}{2} \) si valoarea unghiului ascutit intre dreptele \( EF \), \( AC \) este \( \pi - \frac {\pi + \alpha}{2} = \frac {\pi - \alpha}{2} \).
2) . \( D\in EF \Longleftrightarrow \) \( r\equiv\frac {e - d}{f - d}\in\mathbb{R} \) \( \Longleftrightarrow \) \( \frac {(b - c) + \omega\cdot (b - a)}{(b - a) + \omega\cdot (b - c)}\in\mathbb{R} \) \( \Longleftrightarrow \) \( \left[(b - c) + \omega\cdot (b - a)\right]\cdot\left[\overline {b - a} + \overline {\omega}\cdot\overline {b - c}\right]\in\mathbb{R} \).
Observam ca \( (b - c)\cdot\overline {b - a} + (b - a)\cdot\overline {b - c}\in\mathbb{R} \). Asadar \( r\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow |b - a|^2\cdot\omega + |b - c|^2\cdot\overline {\omega}\in\mathbb{R} \) \( \Longleftrightarrow \)
\( |b - a| = |b - c| \) \( \Longleftrightarrow AB = BC \), adica \( ABCD \) este romb.
Demonstratie. Notam \( X(x) \) - punctul \( X \) cu afix \( x \) si \( \omega = \cos\alpha + i\cdot\sin\alpha \), unde \( m(\widehat {BAE}) = m(\widehat {BCF}) = \alpha \).Fie \( ABCD \) un paralelogram. Fie triunghiurile \( ABE \), \( CBF \), unde \( AB = AE \), \( CB = CF \) ,
\( \widehat {BAE}\equiv\widehat {BCF} \), dreapta \( AB \) nu separa \( E \), \( C \) si dreapta \( BC \) separa \( F \), \( A \). Sa se arate :
1) . \( EF = 2\cdot AC\cdot\sin\frac {\alpha}{2} \) si valoarea unghiului ascutit intre dreptele \( EF \), \( AC \) este \( \frac {\pi - \alpha}{2} \).
2) . Punctele \( E \), \( F \), \( D \) sunt colineare daca si numai daca \( ABCD \) este romb.
Observam ca \( \omega\cdot\overline {\omega} = 1 \), a\( + c = b + d \), adica \( d = a + c - b \) si \( \left\{\begin{array}{c} e = a + \omega (b - a) \\
\ f = c + \omega (b - c)\end{array} \).
1) . Se observa ca \( e - f = (a - c)(1 - \omega ) \) si \( 1 - \omega = 2\cdot\sin\frac {\alpha}{2}\left(\cos\frac {\pi + \alpha }{2} + i\cdot\sin\frac {\pi + \alpha}{2}\right) \), adica
\( EF = 2\cdot AC\cdot\sin\frac {\alpha}{2} \) si valoarea unghiului ascutit intre dreptele \( EF \), \( AC \) este \( \pi - \frac {\pi + \alpha}{2} = \frac {\pi - \alpha}{2} \).
2) . \( D\in EF \Longleftrightarrow \) \( r\equiv\frac {e - d}{f - d}\in\mathbb{R} \) \( \Longleftrightarrow \) \( \frac {(b - c) + \omega\cdot (b - a)}{(b - a) + \omega\cdot (b - c)}\in\mathbb{R} \) \( \Longleftrightarrow \) \( \left[(b - c) + \omega\cdot (b - a)\right]\cdot\left[\overline {b - a} + \overline {\omega}\cdot\overline {b - c}\right]\in\mathbb{R} \).
Observam ca \( (b - c)\cdot\overline {b - a} + (b - a)\cdot\overline {b - c}\in\mathbb{R} \). Asadar \( r\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow |b - a|^2\cdot\omega + |b - c|^2\cdot\overline {\omega}\in\mathbb{R} \) \( \Longleftrightarrow \)
\( |b - a| = |b - c| \) \( \Longleftrightarrow AB = BC \), adica \( ABCD \) este romb.