mateforum.ro

Daca m si n sunt numere naturale prime intre ele atunci \( [\frac{m}{n}]+[\frac{2m}{n}]+...+[\frac{(n-1)m}{n}]=\frac{1}{2}(m-1)(n-1). \)

Aceasta parca era identitatea Gauss. Se poate demonstra in mai multe moduri. Spre exemplu, sa scriem \( m=nq_{1}+r_{1}, 2m=nq_{2}+r_{2},...,(n-1)m=nq_{n-1}+r_{n-1} \), din teorema impartirii cu rest. Cum \( (m,n) =1 \) rezulta usor ca resturile \( r_{i} \) sunt (eventual in alta ordine) numerele \( 1,2,...,n-1 \) si apoi \( \frac{1}{2}(n-1)mn=n\sum_{i=1}^n q_{i}+\frac{1}{2}(n-1)n \) de unde deducem \( \sum_{i=1}^{n-1}[\frac{im}{n}]=\frac{1}{2}(m-1)(n-1) \), ce trebuia aratat.

Ca o remarca, este evident faptul ca \( \frac{1}{2}(m-1)(n-1)\in\mathbb{N} \) deoarece \( m,n \) nu pot fi simultan pare.

o alta cale ar fi de a considera in plan punctele A(n,0),B(n,m),C(o,m). In interiorul dreptunghiului OABC se afla (m-1)(n-1) puncte de coordonate intregi. Deoarece (m,n)=1, pe diagonala OB nu se afla astfel de puncte. Sub diagonala se afla \( \frac{(m-1)(n-1)}{2} \) puncte de forma (k,h). Pentru k fixat exista [km/n] puncte. In total sub diagonala OB sunt \( \sum_{k=1}^{n-1} [km/n] \) puncte.