mateforum.ro

Fie A un inel astfel ca pentru orice \( x\in A \) una din urmatoarele afirmatii este adevarata:
a) \( x^2=x \)
b) \( x^2=x+1 \)
c) \( x=x^2+1 \)
Demonstrati ca inelul A este comutativ.

C. Mortici

a) \( x^{2}=x ,\forall x \in A \), deci si pt \( x=-1 \Rightarrow 1+1=0 \Rightarrow x+x=0 \forall x \in A (*) \). Dar \( (x+y)^{2}=x+y, \forall x,y \in A \Rightarrow x^{2}+xy+yx+y^{2}=x+y \Rightarrow xy+yx=0 \Rightarrow yx=-xy \). Dar din \( (*) \) avem ca \( xy=-xy \Rightarrow xy=yx \), deci inelul \( A \) este comutativ.

Asemanator se fac si celelalte...

Daca stii faptul ca daca \( x^2-x \in Z(A),\ \forall x \in A \), atunci A este inel comutativ e simplu.

Pentru fiecare dintre cele trei cazuri avem \( x^2-x \in \{0,1,-1\}\subset Z(A) \). Deci A este comutativ.