mateforum.ro

Fie \( f:\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) de \( n \)-ori derivabila (\( n\geq 1 \)) astfel incat derivata sa de ordin \( n \), \( f^{(n)}:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, \) sa fie bijectiva. Sa se arate ca:
a) f injectiva \( \Rightarrow \) f surjectiva;
b) f surjectiva \( \Leftrightarrow \) \( n \) numar par.

GMB 5-6/1993

Pentru demonstratie vom folosi urmatoarea proprietate:

Daca exista \( \lim_{x\to\pm \infty}f(x)= l \in \mathbb{R} \) si exista \( \lim_{x\to \pm \infty} f^{\prime}(x) \), atunci aceasta din urma trebuie sa fie egala cu 0. (*)

Demonstratie: Daca exista limita e unica si atunci pentru orice x exista un t din intervalul (x,x+1) a.i. f(x+1)-f(x)=f'(t). Si daca facem pe x sa tinda la infinit atunci si t tinde la infinit si rezulta ca si f'(t)-->0 (deoarece f(x+1)-->l, la fel si f(x)-->l).

a) Folosind proprietatea (*) se arata ca \( f^{(k)} \) are limite infinite la plus si minus infinit \( \forall k\in \mathbb{N},\ k\leq n \).
Cum\( f^{(n)} \) este injectiva, deoarece are proprietatea lui Darboux rezulta ca e strict monotona. Asta impreuna cu surjectivitatea implica faptul ca \( f^{(n)} \) are limite infinite la plus si minus infinit (chiar diferite), de unde rezulta ca \( f^{(n-1)} \) trebuie sa aiba limite infinite la plus/minus infinit si asa mai departe pana la f. Deci f are limite infinite la plus si minus infinit si f strict monotona, rezulta ca f este surjectiva.

b) Este suficient sa aratam ca daca \( k\in \mathbb{N},\ 2\leq k\leq n, \) si daca \( f^{(k)} \) are limite diferite la \( +\infty \), respectiv la \( -\infty \), atunci \( f^{(k-1)} \) are limite infinite egale la \( \pm \infty \) si \( f^{(k-2)} \) are limite infinite diferite la \( \pm \infty \).

Demonstratie: Daca \( f^{(k)} \)are limite infinite si diferite la plus si minus infinit, atunci exista\( x_1,x_2 \in \mathbb{R} a.i. f^{(k)} \) isi pastreaza acelasi semn pe \( (-\infty,x_1) \)si semn contrar pe \( (x_2,\infty) \), semne care indica monotonia functiei \( f^{(k-1)} \), monotonie din care reiese concluzia folosind proprietatea (*). Analog si in cazul in care \( f^{(k-1)} \)are limite egale infinite la plus/minus infinit.

Proprietatea (*) este falsa. Devine adevarata doar daca presupunem apriori ca exista limita derivatei.

Cristi wrote:Proprietatea (*) este falsa. Devine adevarata doar daca presupunem apriori ca exista limita derivatei.

Nu am vazut asta decat acuma cand ai facut observatia . Am sa modific 'proprietatea'.
Acum daca presupunem ca exista limita derivatei, atunci din teorema lui Lagrange rezulta ca limita trebuie sa fie 0. Iar problema asigura existenta limitelor la plus si minus infinit ale functiei \( f^{(k)} \) pentru orice k mai mic sau egal decat n.

Pentru (*) este vreun contraexemplu ?

Pentru a aplica L'Hospital lui f(x)/x este necesar ca limita lui f' sa existe...

Spre exemplu se poate lua f sa arate (graficul) ca niste scari (care urca mereu) din ce in ce mai mici (potrivite pe la colturi ca sa avem derivabilitate) si f(x) sa tinda la l<oo. Dar derivata lui f va oscila mereu intre 0 si o constanta (oricat de mare o vrem). Daca nu e clar ce-am zis pot sa fiu mai riguros putin si sa scriu o functie (aproximativ asa...) care sa faca ce-am zis.

Radu Titiu wrote:Pentru (*) este vreun contraexemplu ?

Putem sa luam \( f(x)=\frac{1}{x}\sin(x^2) \). Limita la infinit este evident 0, iar limita derivatei nu exista, daca nu am gresit la calcul.