Page 1 of 1
Progresie
Posted: Fri Feb 01, 2008 7:45 pm
by mihai++
Fie progresiile aritmetice \( x=(x_i)_{i\in \mathbb{N}},\ y=(y_i)_{i\in \mathbb{N}} \). Sa se arate ca sirul \( z=(x_iy_i)_{i\in \mathbb{N}} \) este o progresie aritmetica daca si numai daca cel putin una din progresiile \( x,\ y \) este constanta.
Posted: Wed Apr 09, 2008 11:45 pm
by Laurian Filip
fie a ratia primei progresii si b a celei de a 2a.
\( x_{k+1}=x_k+a \)
\( y_{k+1}=y_k+b \)
de unde \( z_{k+1}=x_k\cdot y_k+x_ka+y_kb+ab \)
\( x_{k+2}=x_k+2a \)
\( y_{k+2}=y_k+2b \)
de unde \( z_{k+2}=x_k\cdot y_k+x_k\cdot 2a+y_k\cdot 2b+4ab \)
cum z este progresie avem \( z_{k+2}-z_{k+1}=z_{k+1}-z_k \)
\( x_k\cdot 2a+y_k\cdot 2b+4ab-(x_ka+y_kb+ab)=x_ka+y_kb+ab \)
\( 4ab=0 \)
adica a sau b este 0 echivalent cu una dintre progresii este constanta.