Suma de subspatii inchise = dens, dar nu inchis
Posted: Thu Jan 31, 2008 10:25 am
Consideram \( L^2(-\pi,\pi) \) si notam \( e_n=e^{int}\in L^2,\ n\in\mathbb{Z} \). Definim \( f_n=e_{-n}+ne_n, n=1,2,\ldots \).
Fie \( X_1 \) cel mai mic subspatiu liniar inchis care contine \( e_0,e_1,\ldots \) si fie \( X_2 \) cel mai mic subspatiu liniar inchis care contine \( f_1, f_2,\ldots \).
Demonstrati ca \( X_1+X_2 \) este dens in \( L^2 \), dar nu este inchis.
Fie \( X_1 \) cel mai mic subspatiu liniar inchis care contine \( e_0,e_1,\ldots \) si fie \( X_2 \) cel mai mic subspatiu liniar inchis care contine \( f_1, f_2,\ldots \).
Demonstrati ca \( X_1+X_2 \) este dens in \( L^2 \), dar nu este inchis.
).