mateforum.ro

a) Dati exemplu de un numar real nenul \( a \) pentru care \( \{a\} + \{ a^{-1} \} = 1 \), unde \( \{x\} = x - \lfloor x \rfloor \) desemneaza partea fractionara a numarului real \( x \).
b) Fie \( A \subset \mathbb{R} \) continând cel putin \( 3 \) elemente si având proprietatea ca pentru orice \( x, y \in A \) distincte, \( x + y \in \mathbb{Q} \). Demonstrati ca \( A \subseteq \mathbb{Q} \).

\( a=\frac{p+1+\sqrt{(p+1)^2-4}}{2} \), unde p e parte intreaga din a.

In ceea ce priveste punctul b) este clar ca daca presp prin absurd contrariul adica \( \exists x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} \) in \( A \) atunci din conditia \( x+y \in\mathbb{Q}, \forall x,y\in A \) reiese ca toate elementele multimii sunt irationale. Fie deci \( x,y,z \) 3 nr irationale din A, cu \( x+y=m \in\mathbb{Q} \) si \( y+z=n \in\mathbb{Q}. \)Scazand cele 2 relatii rezulta \( x-z=m-n \in\mathbb{Q} \). Cum \( x+z \in\mathbb{Q} \) rezulta \( z \in\mathbb{Q} \), contradictie .