Maraton de probleme de clasa a V-a - semestrul I

[alex2008]

Daca altii nu mai propun probleme , atunci o sa propun eu prima problema a Mirunei .
Sa se arate ca numarul \( 8^{k+1}+9\cdot8^k+10\cdot8^k \) este cub perfect .

[Quit]

\( 8^{k+1}+9\cdot8^k+10\cdot8^k=8^k(8+9+10)=2^{3k}\cdot27=(2^k)^3\cdot3^3=(2^k\cdot3)^3 \)

[Quit]

Problema 6

Sa se determine numerele \( x , y , z \in \mathb{N} \) astfel incat : \( 3^x\cdot3^y=3^5 \) si \( 3^y\cdot3^z=3^7 \) si \( 3^x\cdot3^z=3^6 \) .

[miruna.lazar]

Ma iertati , dar nu am timp in timpul saptamani sa stau pe forum...Mersi mult , Alex.

Din datele problemei avem :

x + y = 5
y+ z = 7
x + z = 6

2x + 2y + 2z = 5+7+6 = 18 / : 2
x + y + z = 9 => z= 4
=> x=2
=> y = 3

Proba : \( 3^2 \cdot 3^3 = 3^5 \)
\( 3^3 \cdot 3^4 = 3^7 \)
\( 3^2 \cdot 3^4 = 3^6 \)

Problema 7

Sa se afle numerele naturale a , b, c stiind ca Ş

\( a^b \cdot b^c \cdot c^a = 10368 \)

[Quit]

Nu sunt sigur de rezolovarea mea ... n-am facut niciodata o problema de tipul asta ... , dar cred ca se face astfel :
Descompunem \( 10368=2^7\cdot3^4 \) , deci trebuie sa descompunem unul dintre acesti doi termeni .
Daca \( 2^7 \) este unul dintre \( a^b , b^c \) sau \( c^a \) atunci \( 3^4 \) trebuie sa se scrie ca un numar de forma \( x^2\cdot7^x \), unde x este unul dintre a ,b ,c . Singurele patrate perfecte prin care se divide \( 81 \) sunt \( 1 , 9 , 81 \) .
\( x^2=81 \Rightarrow x=9 \) , fals deoarece \( 9^2\cdot7^9\neq3^4 \)
\( x^2=9 \Rightarrow x=3 \) , fals deoarece \( 3^2\cdot7^3\neq3^4 \)
\( x^2=1 \Rightarrow x=1 \) , fals deoarece \( 1^2\cdot7^1\neq3^4 \)
Deci \( 3^4 \) este unul dintre \( a^b , b^c \) sau \( c^a \) si deci \( 2^7 \) trebuie sa scrie ca un numar de forma \( y^3\cdot4^y \) , unde y este unul dintre a ,b ,c . Singurele cuburi perfecte prin care se divide \( 128 \) sunt \( 1 , 8 , 64 \) .
\( y^3=1 \Rightarrow y=1 \) , fals deoarece \( 1^3\cdot4^1\neq2^7 \)
\( y^3=8 \Rightarrow y=2 \) , adevarat deoarece \( 2^3\cdot4^2=2^7 \)
\( y^3=64 \Rightarrow y=4 \) , fals deoarece \( 4^3\cdot4^4\neq2^7 \)
Deci singurele solutii sunt :
\( a=2 \) ,\( b=3 \) ,\( c=4 \)
\( a=3 \) \( ,b=4 \) \( ,c=2 \)
\( a=4 \) \( ,b=2 \) \( ,c=3 \)

Raspunsul sunt sigur ca e bun , dar nu sunt foarte sigur de rezolvare ...
E bine ? Pot sa propun urmatoarea problema ?

[miruna.lazar]

Da , eu zic ca poti propune. Asa am rezolvat-o si eu .

[Quit]

Problema 8

Intr-o clasa cu 35 de elevi numarul baietilor este cu 2 mai mare decat jumatate din numarul fetelor . Sa se arate ca cel putin patru fete sunt nascute in aceeasi zi a saptamanii si cel putin doi baieti sunt nascuti in aceeasi luna a anului .

[naruto]

Uff... sper sa doarma adanc ai mei, ca sa am timp sa termin problema asta.

f=fetele -> negru
j=jumatate din fete -> negru
b=baitii -> rosu

f=2j
b=j+3
b+f=35

------------|------------|------------|---

3j+3=35
3j=33
j=11
Deci f=22 si b=14.

Saptamana are 7 zile si sunt 22 de fete. 22:7=3 rest 1. Ramane o fata care s-a nascut in aceeasi zi cu alte 3 fete => 4 fete in aceeasi zi

Anul are 12 luni si sunt 14 baieti. 14:12=1 rest 2 => raman 2 baieti. Ei vor fi in aceeasi luna cu altii.

Problema 9

Multimea A are 7 elemente.
1). Cate submultimi ale lui A au cate cel mult un element?
2). Cate submultimi ale lui A au cate doua elemente?

[Quit]

Rezolvarea e buna n-am ce zice ... , cu o mica greseala . Sa stii ca in probleme de genul asta daca iti cere sa arati ca un grup de persoane s-a nascut in acelasi timp sau ceva de genul , atunci trebuie sa obtii un singur grup cu aceasta proprietate , pentru ca doar asa au sens problemele acestea . 14 baieti si cu 22 de fete nu inseamna 35 de elevi . Oricum ideea ta a fost buna .


Acum rezolvarea la problema 9
1)\( A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\} \)
Submultimi cu cel mult un element : \( \phi ; \{a_1\} ; \{a_2\} ; ... ; \{a_7\} \)
Raspuns : 8 submultimi cu cel mult un element .
2)Submultimi cu doua elemente : \( \{a_1;a_2\};\{a_1;a_3\};...;\{a_6;a_7\} \)
\( 1+2+3+4+5+6=21 \)
Raspuns:21 de submultimi cu doua elemente .

[miruna.lazar]

Ai blocat maratonul sau mi se pare mie? Vrem problema 10!!!!

[Marcelina Popa]

Va dau eu o problema, pana una alta:

Problema 10

Aflati numerele naturale a si b astfel incat

\( 2^a+1=b(b+1) \)

[Quit]

Scuze , nu prea am mai avut timp sa stau la calculator ... , plecat la bunici ...

Problema 11

Un numar de patru cifre are primele doua cifre identice , iar cifra unitatilor 5 . Acest numar se imparte la un numar de doua cifre si se obtine restul 98 . Sa se afle deimpartitul , impartitorul si catul .

[Quit]

Problema 10
\( b(b+1) \) este intotdeauna par . Deci \( 2^a+1 \) este par deci \( 2^a \) este impar . Singura putere impara a lui 2 este 1 , deci \( a=0 \) . Rezulta \( b(b+1)=2 \) , adica :
1) \( b=2 \) , \( b+1=1 \) , fals
2) \( b=1 \) , \( b+1=2 \)
Deci \( a=0 \) si \( b=1 \)

[alex2008]

Problema 11 e un pic mai grea , dar cred ca totusi cei mici ar trebui sa o faca ... Ca o indicatie mai intai te folosesti de faptul ca impartitorul este intotdeauna mai mare decat restul si apoi te legi de ultima cifra .

[Dorobantu Razvan]

Problema 11:
\( \frac{\overline{aab5}}{\overline{cd}}=x,rest98 \)
\( \overline{aab5}=x*\overline{cd}+98 \)
\( \overline{cd}>98=>\overline{cd}=99 \)
\( \overline{aab5}=99x+98 \)
\( u(99x)=7=>u(x)=3 \)
x nu poate fi 3.
\( x=13=>\overline{aab5}=1385(F) \)
\( x=23=>\overline{aab5}=2375(F) \)
\( x=33=>\overline{aab5}=3365(A) \)
Ochii mei sunt varza... as vrea sa va arat tot ce am scris fara \( . Macar a meritat efortul? \)

[Dorobantu Razvan]

Problema 12:
\( N=7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3} \)
Aratati ca \( N\vdots100 \)
Stiu ca e mai grea, dar...intotdeauna exista oameni destepti care sa rezolve probleme destepte, nu?

[Quit]

Nu-i chiar atat de grea ...
\( 7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}=7^n(1+7+49+343)=7^n\cdot400 \) .