mateforum.ro

Ah! Am facut rezolvarea asta inainte, dar am ales-o pe cealalta cu mai multe solutii ca sa o fac pe mama sa ma lasa sa termin problema , pentru ca eu am voie foarte putin la calculator

Un patrat perfect se poate termina in cifrele 0 , 1, 4, 5, 6 si 9. Ca sa aflam ultia cifra , ridicam fiecare la puterea a doua si obtinem:

1. \( 0^2 = 0 \); \( 2 \cdot 0 = 0 \) , cifra este 0
2. \( 1^2 = 1 \);\( 2 \cdot 1 = 2 \) , cifra este 2
3.\( 4^2= 16 \), ultima cifra este 6 , si \( 2\cdot 6 =12 \) ultima cifra 2
4. \( 5^2 = 25 \) , ultima cifra este 5 si \( 2 \cdot 5 =10 \) ultima cifra 0
5. \( 6^2 = 36 \) , ultima cifra este 6 si \( 2 \cdot 6 = 12 \) ultima cifra 2
6. \( 9^2 = 81 \), ultima cifra este 1 si \( 2 \cdot 1 = 2 \) cifra este 2

Raspuns : Multimea cifrelor cu care se termina este { 2, 0 }

Da, asta e rezolvarea la care ma gandeam si eu .

Unde-i problema 3?

Problema 3

a) a + b = 2119
a : b = 16 rest 79

_________________ / _____________

a = ? b =?

________________ // _____________

Miruna, acolo sunt doua probleme! Las-o pe una dintre ele, deocamdata. Pe care vrei. Desi sunt de dificultati diferite, merg amandoua.

Uitati-va cum arata un maraton matematic prin alte parti: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=194579 .

Citez :

the marathon rules(according to me ) are

1) solutions, not just answers, should be posted.
2) the solver of the problem should post 2-3 new problems.
3) no new problems should be posted until all current problems have been solved.
4) rule #3 is more important than rule#2
5) keep the problems mathcounts* level (state-national preferred).
6) have fun

Asta-i un maraton pentru copii mai mari, sunt si unele pentru copii mai mici. Un exemplu: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=217462 .



*Un fel de olimpiada din SUA.

Doamna profesoara, alti profesori pot propune probleme la maratonul initiat de dvs. ?! Bineinteles, respectand regulile jocului in ceea ce priveste dificultatea problemelor propuse. Mie mi se par interesante atat ideea dvs. cat si mobilizarea elevilor la constructia/realizarea acesteia. Va doresc mult succes !

Eu zic ca da, fiindca scopul era ca elevii sa si rezolve probleme, nu doar sa propuna. Plus ca am vrut sa elimin cumva problemele postate special ca sa incuie pe toata lumea.

Deci mai introducem o regula (sau un amendament la "constitutia" maratonului ):

9. Profesorii si elevii care-s deja experti au voie sa propuna si ei probleme (fara sa rezolve altele deja propuse), insa cu conditia ca in niciun moment sa nu existe pe fir mai mult de 3 probleme nerezolvate.

Un elev se numeste expert daca rezolva in mod curent probleme de olimpiada de gimnaziu (nu numai la clasa a V-a)

Rezolvare la problema 3

a + b = 2119
a : b = 16 rest 79

a=16b+79
16b+79+b=2119
17b=2119-79
17b=2040
b=120
a=2119-120=1999


Problema 4 (own )

Mai multe numere adunate dau 87. Fiecare este divizibil prin celelalte numere. Aflati numerele.


Nici eu n-am voie la calculator de obicei . Acum e 1 Decembrie, de aceea am voie.

Am gasit 4 numere , dar vreau sa te intreb : intre termeni are voie sa se gaseasca si \( 1 \) , chiar daca orice numar e divizibil prin el?

1 + 2 + 4 + 80 = 87

\( 80 \vdots 4,2, 1 \)

\( 4 \vdots 2 , 1 \)

\( 2 \vdots 1 \)

Nu e bine pentru ca 4 nu e divizibil prin 80. Fiecare trebuie sa fie divizibil prin toate celelalte, si dinainte si de dupa el. Ce-ai facut tu e a alta problema.

Poate sa fie si 1 si orice numar.

Pai asta inseamna ca toate numerele sunt egale si pot fi numai \( 1 \) .

\( \underbrace{1+1+1+1...+1+1} _{87\ ori} = 87 \)

E bine . Dar trebuie zis si ca 87 este prim, ca daca aveam de exemplu 80, mai erau si alte cazuri: 20+20+20+20=80 etc

Miruna , ai mai putea sa iei 3 de 29 de ori sau 29 de 3 ori ...

Ahhh... Nu e prim.

Da, nu e prim, dar nu are decat doi divizori proprii (adica altii decat 1 si el insusi): 3 si 29.

Citind regulile cred ca ar trebui ca Miruna sa posteze problema 5 .

Ia intrati AICI si introduceti numarul 87.
Daca introduceti numere mai mari, atentie: englezii si americanii folosesc virgula in loc de punct, pentru a separa grupele de cate 3 cifre.


Da, Quit, ai dreptate .